二项式系数的平方和
\[ C _ { 2 \times n} ^ {n} = \sum _ {i = 0} ^ {n} (C _ {n} ^ {i}) ^ 2
\]
- 推导
\[ (1 + x) ^ {2 \times n} 的 x ^ n 次项的系数为 C _ {2 \times n} ^ {n} (二项式定理)
\]
\[ (1 + x) ^{2 \times n} = (1 + x) ^ n \times (1 + x) ^ n
\]
\[ 其中,x ^ 0 \times x ^ n,x ^ 1 \times x ^ {n - 1}......x ^ n \times x ^ 0 能凑出 x ^ n
\]
\[ 他们的系数和为C _ n ^ 0 \times C _ n ^ n + C _ n ^ 1 \times C _ n ^ {n - 1} ...... + C _ n ^ n \times C _ n ^ 0
\]
\[ 因为C _ n ^ i = C _ n ^ {n - i}
\]
\[ 所以C _ { 2 \times n} ^ {n} = \sum _ {i = 0} ^ {n} (C _ {n} ^ {i}) ^ 2
\]