基础知识
二项式定理
\((a+b)^n=C_n^0 a^n b^0+C_n^1 a^{n-1} b^1+\cdots+C_n^k a^{n-k} b^k+\cdots+C_n^n a^0 b^n\left(n \in N^*\right)\)
其中右边的多项式叫做\((a+b)^n\)的二项展开式，其中各项的系数\(C_n^k (k=0，1，2，⋯，n)\)叫做二项式系数\(，C_n^k a^{n-k} b^k\)叫做二项展开式的通项，用表示\(T_{k+1}\)表示，即\(T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k\).
解释
① 例 \((1+x)^3=C_3^0 1^3 x^0+C_3^1 1^2 x^1+C_3^2 1^1 x^2+C_3^3 1^0 x^3=1+3 x+3 x^2+x^3\)，
它的二项展开式是\(1+3x+3x^2+x^3\)，二项展开式的通项 \(T_{k+1}=C_3^k 1^{2-k} x^k=C_3^k x^k\).
② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指\(C_n^k\)，而后者是指字母外的部分.
③ 在使用通项公式\(T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k\)时，要注意通项公式是表示第\(k+1\)项，而不是第\(k\)项.
二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(\(\because C_n^m=C_n^{n-m}\))，直线 \(k=\dfrac{n}{2}\)是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
当\(n\)是偶数时，中间一项\(C_n^{\frac{n}{2}}\)取得最大值；
当\(n\)是奇数时，中间两项 ， \(C_n^{\frac{n-1}{2}}\)， \(C_n^{\frac{n+1}{2}}\)取得最大值．
(3)二项式系数和
\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+⋯+C_n^k+⋯+C_n^n=2^n\)，奇数项的系数等于偶数项的系数等于\(2^{n-1}\).
证明 \(\because(1+x)^n=C_n^0+C_n^1 x+\cdots+C_n^k x^k+\cdots+C_n^n x^n\)
令\(x=1\)，则\(2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+⋯+C_n^k+⋯+C_n^n\)，
令\(x=-1\)，则\(C_n^0-C_n^1+C_n^2+⋯+C_n^k+⋯+(-1)^n C_n^n=0\)，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于\(2^{n-1}\).
二项式系数表(杨辉三角)
\((a+b)^n\)展开式的二项式系数，当\(n\)依次取\(1\)，\(2\)，\(3\) …时，二项式系数表，表中每行两端都是\(1\)，除\(1\)以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
基本方法
【题型1】 二项式展开式
【典题1】若\(\left(x^2+\dfrac{1}{a x}\right)^6\)的展开式中，\(x^3\)的系数是\(-160\)，则 ( )
A． \(a=-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B．所有项系数之和为\(1\) \(\qquad \qquad\) C．二项式系数之和为\(64\) \(\qquad \qquad\) D．常数项为\(-320\)
解析 由\(T_{r+1}=C_6^r\left(x^2\right)^{6-r}\left(\dfrac{1}{a x}\right)^r=\left(\dfrac{1}{a}\right)^r \cdot C_6^r \cdot x^{12-3 r}\)，
令\(12-3r=3\)，得\(r=3\)．
\(\therefore \dfrac{1}{a^3} \cdot C_6^3=-160\)，得\(a=-\dfrac{1}{2}\)，故\(A\)正确；
所以\(\left(x^2+\dfrac{1}{a x}\right)^6=\left(x^2-\dfrac{2}{x}\right)^6\)，
取\(x=1\)，可得所有项系数之和为\(a_0+a_1+⋯+a_6=(1-2)^6=1\)，故\(B\)正确；
二项式系数之和为\(2^6=64\)，故\(C\)正确；
(二项式系数和：\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+⋯+C_n^r+⋯+C_n^n=2^n\))
由\(12-3r=0\)，得\(r=4\)，展开式的常数项为\((-2)^4⋅C_6^4=240\)，故\(D\)错误．
(常数项即变量\(x\)的指数为\(0\))
故选：\(ABC\)．
点拨
① 先写出展开式的通项，并把其化为最简的形式；
② 每项的二项式系数\(C_n^r\)与其系数不是同一概念的.
【巩固练习】
1.在\(\left(2 x^2-\dfrac{1}{5 x}\right)^5\)的二项展开式中，\(x\)的系数为\(\underline{\quad \quad}\) .
2.已知\((a-x)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯a_5 x^5\)，若\(a_2=270\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
3.若二项式\(\left(3 x^2-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\right)^n\left(n \in N^*\right)\)展开式中含有常数项，则\(n\)的最小取值是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(-\dfrac{8}{25}\)
解析 由 \(T_{r+1}=C_5^r\left(2 x^2\right)^{5-r} \cdot\left(-\dfrac{1}{5 x}\right)^r=(-1)^r \cdot C_5^r \cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^r \cdot 2^{5-r} \cdot x^{10-3 r}\)，
则\(10-3r=1\)，解得\(r=3\)，
所以\(x\)的系数为\(-C_5^3\left(\dfrac{1}{5}\right)^3 \cdot 2^2=-\dfrac{8}{25}\). -
答案 \(3\)
解析 二项式\((a-x)^5\)的通项公式为\(T_{r+1}=C_5^r a^{5-r}(-x)^r\)，
其中 \(T_3=C_5^2 a^3(-x)^2=10 a^3 x^2\)，
所以\(a_2=10a^3=270\)，解得\(a=3\)． -
答案 \(7\)
解析由题意该二项展开式的通项为\(T_{r+1}=3^n(-2)^r C_n^r x^{\left(2 n-\frac{7}{3} r\right)}\)，
由题意\(2 n-\dfrac{7}{3} r=0\)解得\(n=\dfrac{7}{6} r\)，
当\(r=6\)时，\(n\)的最小值为\(7\).
【题型2】 两个二项式相乘
【典题1】 \(\left(1+2 x^2\right)\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8\)的展开式中的常数项为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析设\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8\)的第\(r+1\)项为\(T_{r+1}=(-1)^r C_8^r x^{8-2 r}\).
则令\(8-2r=0\)，得\(r=4\)；令\(8-2r=-2\)，得\(r=5\).
故原式展开式中常数项为\(1×(-1)^4 C_8^4+2×(-1)^5 C_8^5=-42\).
点拨 对于二个二项式模型“\(多项式\cdot (a+b)^n\)”，
想象下对\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8\)展开后的形式: \(\left(1+2 x^2\right)\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8=\left(1+2 x^2\right)(\Delta+\Delta+\cdots+\Delta)\)
若要继续用乘法分配律展开最后得到常数项，那只有\(1\)乘以\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8\)的常数项和\(2\)乘以\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^8\)的\(x^{-2}\)项系数\(n\)，
即所求的常数项\(=1\cdot m+ 2n=m+2n\).
【巩固练习】
1.\((x-y)(x+y)^8\)的展开式中\(x^2 y^7\)的系数为\(\underline{\quad \quad}\).(用数字填写答案)
2.设\((1-x)(1+2x)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_6 x^6\)，则\(a_2=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(-20\)
解析 由题意，\((x+y)^8\)展开式通项为\(T_{k+1}=C_8^k x^{8-k} y^k\)，\(0≤k≤8\)．
当\(k=7\)时，\(T_8=C_8^7 xy^7=8xy^7\)；当\(k=6\)时，\(T_7=C_8^6 x^2 y^6=28x^2 y^6\)，
故\((x-y)(x+y)^8\)的展开式中\(x^2 y^7\)项为\(x\cdot 8xy^7+(-y)\cdot 28x^2 y^6=-20x^2 y^7\)，
系数为\(-20\)． -
答案 \(30\)
解析\(a_2\)是\(x^2\)的系数，而\((1-x)(1+2x)^5=(1+2x)^5-x(1+2x)^5\)，
\((1+2x)^5\)的通项为\(T_{r+1}=C_5^r 2^r x^r\)，
所以\(a_2=C_5^2 2^2-C_5^1 2=40-10=30\).
【题型3】赋值求系数
【典题1】若\((2 x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4\)，则\((a_0+a_2+a_4 )^2-(a_1+a_3 )^2\)的值是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 令\(x=1\)得\(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=(2+\sqrt{3} )^4\)，
令\(x=-1\)得\(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4=(-2+\sqrt{3} )^4\)，
\((a_0+a_2+a_4 )^2-(a_1+a_3 )^2=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 )(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4 )=1\).
点拨 对于类似系数问题，常令\(x=0\)，\(x=1\)，\(x=-1\)或根据等式结构取其他特殊值，这样往往能够得到展开式中某些系数的关系，这个要多尝试.
【巩固练习】
1.设\(\left(1+x+x^2+x^3\right)^4=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{12} x^{12}\)，则\(a_0=\)( )
A．\(256\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)
2.若二项式\((3-x)^n (n∈N^* )\)中所有项的系数之和为\(a\)，所有项的系数的绝对值之和为\(b\)，则\(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.设\((2-x)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_5 x^5\)，那么\(\dfrac{a_0+a_2+a_4}{a_1+a_3}\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(\because\left(1+x+x^2+x^3\right)^4=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{12} x^{12}\)，
\(\therefore\)令\(x=0\)得\(1=a_0\)，
即\(a_0=1\)，故选：\(D\). -
答案 \(\dfrac{5}{2}\)
解析令\(x=1\)，可求得\(a=2^n\)；令\(x=-1\) ，可求得\(b=4^n\)；
所以 \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=2^n+\dfrac{1}{2^n}\)，
令\(t=2^n\)，\(t≥2\)，所以 \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=t+\dfrac{1}{t} \geq 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\). -
答案 \(-\dfrac{61}{60}\)
解析 由于\(a_5\)是二项式\((2-x)^5\)展开式中的\(x^5\)的系数，所以\(a_5=-1\)；
令\(x=1\)得\(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=(2-1)^5=1\)①；
令\(x=-1\)得\(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=(2+1)^5=243\)②
由①+②得: \(a_0+a_2+a_4=122\)，
由①-②得: \(a_1+a_3+a_5=-121\)，从而\(a_1+a_3=-120\);
所以\(\dfrac{a_0+a_2+a_4}{a_1+a_3}=\dfrac{122}{-120}=-\dfrac{61}{60}\)．
【题型4】应用
【典题1】 用二项式定理证明：\(11^{10}-1\)能被\(100\)整除．
证明 \(11^{10}-1=(10+1)^{10}-1\)
\(=\left(10^{10}+C_{10}^1 \cdot 10^9+\cdots+C_{10}^9 \cdot 10+1\right)-1\)
\(=10^{10}+C_{10}^1 \cdot 10^9+C_{10}^2 \cdot 10^8+\cdots+10^2\)
\(=100\left(10^8+C_{10}^1 \cdot 10^7+C_{10}^2 \cdot 10^6+\cdots+1\right)\)．
\(\therefore 11^{10}-1\)能被\(100\)整除．
【典题2】求\(0.998^6\)的近似值，使误差小于\(0.001\)．
解析 \(0.998^6=(1-0.002)^6=1+6 \cdot(-0.002)+15 \cdot(-0.002)^2+. .+(-0.002)^6\)
\(\approx 1+6 \cdot(-0.002)=0.988\)．
【巩固练习】
1.证明\(3^{2 n+2}-8 n-9\)能被\(64\)整除\((n∈N^*)\)．
2.求\(1.02^8\)的近似值(精确到小数点后三位)．
参考答案
-
证明
\(3^{2 n+2}-8 n-9=9^{n+1}-8 n-9=(8+1)^{n+1}-8 n-9\)
\(=8^{n+1}+C_{n+1}^1 \cdot 8^n+\cdots+C_{n+1}^{n-1} \cdot 8^2++C_{n+1}^n \cdot 8+1-8 n-9\)
\(=8^{n+1}+C_{n+1}^1 \cdot 8^n+\cdots+C_{n+1}^{n-1} \cdot 8^2+8(n+1)+1-8 n-9\)
\(=8^{n+1}+C_{n+1}^1 \cdot 8^n+\cdots+C_{n+1}^{n-1} \cdot 8^2\)
\(=8^2\left(8^{n-1}+C_{n+1}^1 8^{n-2}+\cdots+C_{n+1}^{n-1}\right)\)
\(=64\left(8^{n-1}+C_{n+1}^1 8^{n-2}+\cdots+C_{n+1}^{n-1}\right)\)
\(\because 8^{n-1}+C_{n+1}^1 8^{n-2}+\cdots+C_{n+1}^{n-1}\)是整数，
\(\therefore 3^{2 n+2}-8 n-9\)能被\(64\)整除． -
答案 \(1.17\)
解析 \(1.02^8=(1+0.02)^8\)
\(=1+C_8^1 \times 0.02+C_8^2 \times 0.02^2+\cdots\)
\(\approx 1+0.16+0.0112\)
\(\approx 1.17\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.在\((1+x)^n\)的展开式中，第\(9\)项为( )
A．\(C_n^9 x^9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(C_n^8 x^8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(C_n^9 x^{n-9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(C_n^8 x^{n-8}\)
2.\(\left(4^x+2^{-x}\right)^6\)的展开式中的常数项是( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(20\)
3.\((1+x)^8 (1+y)^4\)的展开式中\(x^2 y^2\)的系数是( )
A．\(56\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(84\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(112\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(168\)
4.在二项式\((2x+1)^6\)的展开式中，系数最大项的系数是( )
A.\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(160\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(240\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(192\)
5.已知\(\left(x-\dfrac{a}{x}\right)^8\)展开式中常数项为\(5670\)，其中\(a\)是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A．\(2^8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4^8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(2^8\)或\(4^8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)或\(2^8\)
6.在\((1+x)^6 (1+y)^4\)的展开式中，记\(x^m y^n\)项的系数为\(f(m，n)\)，则\(f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3) =\) \(\underline{\quad \quad}\).
7.设\(a_n (n≥2，n∈N^* )\)是\((3-\sqrt{x})^n\)的展开式中\(x\)的一次项系数，则 \(\dfrac{3^2}{a_2}+\dfrac{3^3}{a_3}+\cdots+\dfrac{3^{18}}{a_{18}}=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
8.在\(\left(x^4+\dfrac{1}{x}\right)^n\)的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大\(35\).
(1)求\(n\)的值； \(\qquad \qquad\) (2)求展开式中的常数项.
9.在二项式\(\left(\sqrt[3]{x}-\dfrac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^n\)的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
(1)求展开式的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中各项的系数和.
10.求证： \(4 \times 6^n+5^{n+1}-9\)是\(20\)的倍数\((n∈N^*)\).
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 因为\(T_{r+1}=C_n^r \cdot x^r\)，所以第\(9\)项是 \(T_{8+1}=C_n^8 x^8\). -
答案\(C\)
解析 \(T_{r+1}=C_6^r\left(4^x\right)^{6-r}\left(2^{-x}\right)^r=C_6^r 2^{x(12-3 r)}\)，
若为常数项，则\(12-3r=0\)，即\(r=4\)，
所以\(C_6^4=15\)，故答案选\(C\). -
答案 \(D\)
解析 因为\((1+x)^8\)的展开式中\(x^2\)的系数为\(C_8^2\)，
\((1+y)^4\)的展开式中\(y^2\)的系数为\(C_4^2\)，
所以\(x^2 y^2\)的系数为\(C_8^2 C_4^2=168\).故选\(D\). -
答案 \(C\)
解析 二项式\((2 x+1)^6\)的展开式的通项为 \(T_{k+1}=C_6^k(2 x)^{6-k}=2^{6-k} C_6^k x^{6-k}\)，
设 \(a_k=2^{6-k} C_6^k\)，
则 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{2^{5-k} C_6^{k+1}}{2^{6-k} C_6^k}=\dfrac{C_6^{k+1}}{2 C_6^k}=\dfrac{6-k}{2(k+1)}\)，
当\(k≥2\)时，\(\dfrac{6-k}{2(k+1)}<1\)，
即 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}<1 \Rightarrow a_{k+1}<a_k\)，即\(a_k\)递减；
而\(a_1<a_2\)，故\(a_2\)取到最大值，
即系数最大项的系数为\(2^4 C_6^4=16× 15=240\). -
答案 \(C\)
解析 \(\left(x-\dfrac{a}{x}\right)^8\)展开式的通项为 \(T_{k+1}=C_8^k x^{8-k}\left(-a x^{-1}\right)^k=(-a)^k C_8^k x^{8-2 k}\)，
令\(8-2k=0\)，得\(k=4\)，则\((-a)^4 C_8^4=5670\)，
即\(a^4=81\)，\(a=±3\)；
当\(a=3\)时，展开式中各项系数的和为\((1-3)^8=2^8\)；
当\(a=-3\)时，展开式中各项系数的和为\((1+3)^8=4^8\)，故选\(C\)． -
答案 \(120\)
解析 根据二项式定理，\((1+x)^6\)的展开式中，\(x^m\)的系数为\(C_6^m\)，
\((1+y)^4\)的展开式中，\(y^n\)的系数为\(C_4^n\) .
因为\(f(m，n)=C_6^m\cdot C_4^n\)，
所以\(f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)\)
\(=C_6^3 C_4^0+C_6^2 C_4^1+C_6^1 C_4^2+C_6^0 C_4^3\)
\(=20×1+15×4+6×6+1×4=120\). -
答案 \(17\)
解析 \(\because a_n (n≥2，n∈N^* )\)是\((3-\sqrt{x})^n\)的展开式中\(x\)的一次项系数，
\(\therefore a_n=C_n^2 3^{n-2}\)，
\(\therefore \dfrac{3^2}{a_2}+\dfrac{3^3}{a_3}+\cdots+\dfrac{3^{18}}{a_{18}}=\dfrac{2 \times 3^2}{n(n-1)}+\dfrac{2 \times 3^3}{3 n(n-1)}+\cdots+\dfrac{2 \times 3^{18}}{3^{16} n(n-1)}\)
\(=\dfrac{18}{2 \times 1}+\dfrac{18}{3 \times 2}+\cdots+\dfrac{18}{17 \times 18}\)
\(=18\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \cdots-\dfrac{1}{18}\right)=17\). -
答案 (1) \(10\)； (2) \(45\)
解析 (1)由题意知\(C_n^2-C_n^1=35\)得\(n=10\)或\(n=-7\)(舍去)，
(2)设第\(r+1\)项为常数项，则 \(T_{r+1}=C_{10}^r\left(x^4\right)^{10-r}\left(\dfrac{1}{x}\right)^r=C_{10}^r x^{40-5 r}\)，
\(\therefore 40-5r=0\)，\(\therefore r=8\)，
所以展开式中的常数项为\(T_9=C_{10}^8=45\). -
答案 (1) \(\dfrac{35}{8}\)； (2)\(\dfrac{35}{8}\)； (3) \(\dfrac{1}{256}\)
解析 展开式的通项为 \(T_{r+1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^r C_n^r x^{\dfrac{n-2 r}{3}}\)，
由已知：\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^0 C_n^0\)， \(\left(\dfrac{1}{2}\right) C_n^1\)， \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 C_n^2\)成等差数列，
\(\therefore 2 \times \dfrac{1}{2} C_n^1=1+\dfrac{1}{4} C_n^2\)，\(\therefore n=8\)，
(1)令\(8-2r=0\)，\(\therefore r=4\)， \(\therefore T_5=\dfrac{35}{8}\)；
(2)\(n=8\)，二项式系数为\(C_8^r\)，
所以展开后第四项\(T_5\)二项式系数最大，且 \(T_5=\dfrac{35}{8}\)；
(3)令\(x=1\)，各项系数和为\(\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^8=\dfrac{1}{256}\). -
证明 \(4 \times 6^n+5^{n+1}-9=4 \cdot(5+1)^n+5 \cdot(4+1)^n-9\) \(=4\left(C_n^0 5^n+C_n^1 5^{n-1}+\cdots+C_n^{n-1} 5+1\right)+5\left(C_n^0 4^n+C_n^1 4^{n-1}+\cdots+C_n^{n-1} 4+1\right)-9\)
\(=20\left[\left(C_n^0 5^{n-1}+C_n^1 5^{n-2}+\cdots+C_n^{n-1}\right)+\left(C_n^0 4^{n-1}-C_n^1 4^{n-2}+\cdots+C_n^{n-1}\right)\right]\)，
故结论成立．
【B组---提高题】
1.若多项式\(x^4+(x-1)^8=a_0+a_1 (x+1)+a_2 (x+1)^2+⋯+a_8 (x+1)^8\)，则\(a_3=\)( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(60\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(-961\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(-1796\)
2.在\(\left(1-x^2+\dfrac{2}{x}\right)^7\)的展开式中的\(x^3\)的系数为( )
A．\(210\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-210\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-910\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(280\)
3.求证： \(C_n^0+3 C_n^1+5 C_n^2+\cdots+(2 n+1) C_n^n=(n+1) 2^n\)
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(\because x^4+(x-1)^8=[(x+1)-1]^4+[(x+1)-2]^8\)，
\(\therefore a_3=C_4^1 (-1)^1+C_8^5 (-2)^5=-4-1792=-1796\)，
故\(D\)正确． -
答案 \(C\)
解析 \(T_{r+1}=C_7^r \cdot\left(\dfrac{2}{x}-x^2\right)^r=C_7^r C_r^m\left(\dfrac{2}{x}\right)^{r-m}\left(-x^2\right)^m\)\(=(-1)^m 2^{r-m} C_7^r C_r^m x^{3 m-r}\)，
令\(3m-r=3\)，\(m=2\)，\(r=3\)，或\(m=3\)，\(r=6\)，
代入得到系数： \((-1)^2 2^{3-2} C_7^3 C_3^2+(-1)^3 2^{6-3} C_7^6 C_6^3=-910\). -
**证明 **设 \(S_n=C_n^0+3 C_n^1+5 C_n^2+\cdots+(2 n+1) C_n^n\)…①
把①式右边倒转过来得 \(S_n=(2 n+1) C_n^n+(2 n-1) C_n^{n-1}+\cdots+3 C_n^1+C_n^0\) (反序)
又由 \(C_n^m=C_n^{n-m}\)可得 \(S_n=(2 n+1) C_n^0+(2 n-1) C_n^1+\cdots+3 C_n^{n-1}+C_n^n\)…②
①+②得 \(2 S_n=(2 n+2)\left(C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n\right)=2(n+1) \cdot 2^n\)(反序相加)
\(\therefore S_n=(n+1) \cdot 2^n\).
【C组---拓展题】
1.已知: \((2 x-1)^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n\)\((n∈N^*\)，\(n\)为常数\()\)．
(1)求\(|a_0 |+|a_1 |+|a_2 |+⋯+|a_n |\)；
(2)我们知道二项式\((1+x)^n\)的展开式 \((1+x)^n=C_n^0+C_n^1 x+C_n^2 x^2+\cdots+C_n^n x^n\)．若该等式
两边对\(x\)求导得：\(n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2 C_n^2 x+3 C_n^3 x^2 \cdots+n C_n^n x^{n-1}\)，
令\(x=1\)，可得\(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3⋯+nC_n^n=n\cdot 2^{n-1}\)．利用此方法解答以下问题：
① 求\(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n\)；
② 求 \(1^2a_1+2^2 a_2+3^2 a_3+⋯+n^2 a_n\)．
2.已知\(\left(1+\dfrac{1}{2} x\right)^n\)展开式的各项依次记为\(a_1 (x)\)，\(a_2 (x)\)，\(a_3 (x)\)，⋯，\(a_n (x)\)， \(a_{n+1}(x)\)．
设 \(F(x)=a_1(x)+2 a_2(x)+3 a_3(x)， \quad \cdots+n a_n(x)+(n+1) a_{n+1}(x)\)．
(1)若\(a_1 (x)\)，\(a_2 (x)\)，\(a_3 (x)\)的系数依次成等差数列，求\(n\)的值；
(2)求证：对任意\(x_1\)，\(x_2\in [0，2]\)，恒有\(|F(x_1 )-F(x_2 )|≤2^{n-1} (n+2)-1\).
参考答案
-
答案 (1)\(|(-3)^n |\)； (2) ①\(2n\) ; ②\(4n^2-2n\)
解析 (1)\(|a_0 |+|a_1 |+|a_2 |+⋯+|a_n |\)即为\((2x-1)^n\)的各项系数的绝对值之和且绝对值之和为正数，
因为\(T_{r+1}=C_n^r(2 x)^{n-r}(-1)^r\)，
所以\(a_0\)，\(a_1\)，\(a_2\)…的正负值是隔项出现的，
令\(x=-1\)，则\(|a_0 |+|a_1 |+|a_3 |+⋯+|a_n |=|(-3)^n |\)；
(2)对等式两边求导得：
\(2 n(2 x-1)^{n-1}=a_1+2 a_2 x+3 a_3 x^2+\cdots+n a_n x^{n-1}\)．
令\(x=1\)得\(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n=2n\)．
(3) 将 \(2 n(2 x-1)^{n-1}=a_1+2 a_2 x+3 a_3 x^2+\cdots+n a_n x^{n-1}\)
两边同乘\(x\)得 \(2 n(2 x-1)^{n-1} x=a_1 x+2 a_2 x^2+3 a_3 x^3+\cdots+n a_n x^n\)，
两边再对\(x\)求导： \(2 n\left[2(n-1)(2 x-1)^{n-2} x+(2 x-1)^{n-1}\right]\)
\(=a_1+2^2 a_2 x^1+3^2 a_3 x^2+\cdots+n^2 a_n x^{n-1}\)，
令\(x=1\)得\(1^2 a_1+2^2 a_2+3^2 a_3+⋯+n^2 a_n=4n^2-2n\). -
答案 (1) \(8\)； (2) 略
解析 (1)依题意 \(a_k(x)=C_n^{k-1}\left(\dfrac{1}{2} x\right)^{k-1}\)，\(k=1\)，\(2\)，\(3\)，⋯，\(n+1\)，
\(a_1 (x)\)，\(a_2 (x)\)，\(a_3 (x)\)的系数依次为\(C_n^0=1\)， \(C_n^1 \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{n}{2}\)， \(C_n^2 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{n(n-1)}{8}\)，
所以\(2 \times \dfrac{n}{2}=1+\dfrac{n(n-1)}{8}\)，解得\(n=8\)；
(2) \(F(x)=a_1(x)+2 a_2(x)+3 a_3(x)， \cdots+n a_n(x)+(n+1) a_{n+1}(x)\)
\(=C_n^0+2 C_n^1\left(\dfrac{1}{2} x\right)+3 C_n^2\left(\dfrac{1}{2} x\right)^2 \cdots+n C_n^{n-1}\left(\dfrac{1}{2} x\right)^{n-1}+(n+1) C_n^n\left(\dfrac{1}{2} x\right)^n\)，
\(F(2)=C_n^0+2 C_n^1+3 C_n^2 \cdots+n C_n^{n-1}+(n+1) C_n^n\)，
设\(S_n=C_n^0+2C_n^1+3C_n^2⋯+nC_n^{n-1}+(n+1)C_n^n\)，
则\(S_n=(n+1)C_n^n+nC_n^{n-1}⋯+3C_n^2+2C_n^1+C_n^0\)，
考虑到 \(C_n^k=C_n^{n-k}\)，
将以上两式相加得： \(2 S_n=(n+2)\left(C_n^0+C_n^1+C_n^2 \cdots+C_n^{n-1}+C_n^n\right)\)，
所以 \(S_n=(n+2) 2^{n-1}\)，
又当\(x\in [0，2]\)时，\(F'(x)≥0\)恒成立，从而\(F(x)\)是\([0，2]\)上的单调递增函数，
所以对任意\(x_1\)，\(x_2\in [0，2]\)，恒有\(\left|F\left(x_1\right)-F\left(x_2\right)\right| \leq F(2)-F(0)=(n+2) 2^{n-1}-1\)．