简单解析几何

1 直线和圆的方程

1.1 直线的倾斜角和斜率

1.1.1 倾斜角和斜率

1.1.1.1 直线的方向

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。因此，这些直线的区别是他们的方向不同。

1.1.1.2 直线的倾斜角

定义

1. 当直线 \(l\) 与 \(x\) 轴相交时，我们以 \(x\) 轴为基准，\(x\) 轴正方向与直线 \(l\) 向上的方向所成的角 \(\alpha\) 叫做直线 \(l\) 的倾斜角。
2. 当直线 \(l\) 与 \(x\) 轴平行或者重合时，我们规定直线 \(l\) 的倾斜角 \(\alpha=0\)。

作用

表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度。

注：确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。

范围

当直线 \(l\) 与 \(x\) 轴平行或者重合时，我们规定直线 \(l\) 的倾斜角 \(\alpha=0\)。因此倾斜角的范围为 \([0,\pi)\)。

1.1.1.3 直线的斜率

定义

我们把一条直线的倾斜角 \(\alpha\) 的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 \(k\) 来表示，即：

倾斜角为 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 的直线没有斜率。反之，倾斜角不为\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 的直线都有斜率。

倾斜角不同的直线斜率也不同。我们可以用斜率表示倾斜角不为\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 的直线相对于 \(x\) 轴的倾斜程度。

公式

若直线经过两点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),x_1\ne x_2\)，那么该直线斜率有：

1.1.1.4 直线的斜率与倾斜角之间的关系

其中：

1. 当 \(\alpha\in[0,\displaystyle\frac{\pi}{2})\) 时 \(k\geqslant 0\) 且 \(k\) 随着 \(\alpha\) 的增大而增大。
2. 当 \(\alpha\in(\displaystyle\frac{\pi}{2},\pi)\) 时 \(k<0\) 且 \(k\) 随着 \(\alpha\) 的增大而增大。

1.1.2 两条直线平行和垂直的判定

1.1.2.1 两条直线平行的判定

可以简单分为两种情况：

1. 若斜率存在，则有： \(l_1//l_2\Leftrightarrow k_1=k_2\)。
2. 若斜率不存在，则有：两条直线斜率均不存在 \(\Leftrightarrow l_1//l_2\)。

1.1.2.2 两条直线垂直的判定

可以简单分为两种情况：

1. 若两条直线斜率都存在且都不为零，则有： \(l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2=-1\)。
2. 若 \(l_1\) 斜率不存在，则有：\(l_1\) 的斜率不存在且 \(l_2\) 的斜率为零 \(\Leftrightarrow l_1\perp l_2\)。

1.2 直线的方程

1.2.1 直线的点斜式方程

1.2.1.1 推导

由斜率公式简单变形可得：

显然该方程由直线上的一点以及该直线的斜率确定。

1.2.1.2 定义

方程 \(y-y_0=k(x-x_0)\) 由直线上一个定点 \(P(x_0,y_0)\) 以及该直线的斜率 \(k\) 确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。

当直线的倾斜角为 \(0\) 时，斜率为 \(0\)，此时直线与 \(x\) 轴平行或重合，直线方程是 \(y-y_0=0\)，即 \(y=y_0\)。

当直线的倾斜角为 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 时，不存在斜率，此时直线与 \(y\) 轴平行或重合，无法使用点斜式方程表示。又因为此时直线上每一点横坐标都等于 \(x_0\)，直线方程是 \(x-x_0=0\)，即 \(x=x_0\)。

1.2.2 直线的斜截式方程

1.2.2.1 推导

下面浅浅看一下点斜式的一种特殊情况：令直线上一点 \(P(0,b)\)，则将原公式简单变形可得：

1.2.2.2 定义

我们把直线 \(l\) 与 \(y\) 轴交点 \((0,b)\) 的纵坐标 \(b\) 称为直线 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距。

方程 \(y=kx+b\) 由直线的斜率 \(k\) 和在 \(y\) 轴上的截距 \(b\) 确定，我们称之为直线的斜截式方程，简称斜截式。

1.2.3 直线的两点式方程

1.2.3.1 推导

令经过 \(P(x_1, y_1)\)，\(Q(x_2,y_2)\) 两点的直线 \(l\)（其中 \(x_1\ne x_2\)）的斜率 \(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)，取 \(P\) 点易得直线点斜式方程：

当 \(y_1\ne y_2\) 时，上式可变换为：

这就是直线的两点式方程。

1.2.3.2 定义

上式是经过两点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2)\) 的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。

1.2.4 直线的截距式方程

1.2.4.1 推导

令 \(A(a,0)\)，\(B(0,b)\) 为直线 \(l\) 上两点，代入两点式可得：

即：

1.2.4.2 定义

我们称 \(a\) 为直线 \(l\) 在 \(x\) 轴上的截距。相应地，\(b\) 为直线 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距。该方程由直线 \(l\) 在两条坐标轴上的截距确定。我们称之为直线的截距式方程，简称截距式。

1.2.5 小结

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率。这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画。在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式

1.2.6 直线的一般式方程

1.2.6.1 推导

首先来观察一下下式：

通过观察不难看出，这就是之前提到过的直线的点斜式方程。这个方程可以认为是关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程。

考虑一种特殊情况。当斜率 \(k\) 不存在时，直线方程为：

显然此时 \(y\) 的系数为 \(0\)。

不难发现，任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示。即：

简单推导验证一下。

当 \(B\ne 0\) 时，可以变形为：

它表示过点 \((0,-\displaystyle\frac{C}{B})\) 且斜率为 \(-\displaystyle\frac{A}{B}\) 的直线。

当 \(B=0\) 时，\(A\ne 0\)，此时可以变形为：

它表示过点 \((-\displaystyle\frac{C}{A},0)\) 且垂直于 \(x\) 轴的直线。

综上所述，关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程都表示一条直线。即：

1.2.6.2 定义

由上述推导过程可知关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程都表示一条直线。我们把关于关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程 \(Ax+By+z=0\) 叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注：\(A\) 和 \(B\) 不同时为 \(0\)。

1.2.6.3 结构特征

1. 方程是关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程。
2. 方程中等号左侧从左至右一般按含 \(x\) 项、含 \(y\) 项、常数项的顺序排列。
3. \(x\) 的系数一般不为分数和负数。

1.2.6.4 两条直线平行和垂直的判定（一般式）

1.2.6.4.1 两条直线平行的判定

可以简单分为两种情况：

1. 若斜率存在，则有： \(l_1//l_2\Leftrightarrow\displaystyle\frac{A_1}{A_2}=\displaystyle\frac{B_1}{B_2}\ne\displaystyle\frac{C_1}{C_2}\)。
2. 若斜率不存在，则有：\(B_1=B_2=0\) 且 \(\displaystyle\frac{C_1}{A_1}\ne\displaystyle\frac{C_2}{A_2}\) \(\Leftrightarrow l_1//l_2\)。

或者还有一种方法：

\(A_1B_2-A_2B_1=0\)，且 \(B_1C_2-B_2C_1\ne 0\) 或 \(A_1C_2-A_2C_1\ne 0\)。

1.2.6.4.2 两条直线垂直的判定

可以简单分为两种情况：

1. 若两条直线斜率都存在且都不为零，则有： \(l_1\perp l_2\Leftrightarrow\displaystyle\frac{A_1}{B_1}\cdot\frac{A_2}{B_2}=-1\)。
2. 若 \(l_1\) 斜率不存在，则有：\(A_1=0,B_2=0\) 或 \(A_2=0,B_1=0\) \(\Leftrightarrow l_1\perp l_2\)。

或者还有一种方法：

1.2.7 直线的参数方程

设直线 \(l\) 过点 \(P(x,y)\)，该直线的一个方向向量 \(\vec{a}=(m,n)\)。令 \(Q(x',y')\) 为直线上任意一点，则 \(\vec{PQ}\) 与 \(\vec{a}\) 共线。则存在实数 \(\lambda\) 使得 \(\vec{PQ}=\lambda\vec{a}\)，所以：

上式即为直线的参数方程。

1.3 直线的交点坐标和距离公式

1.3.1 交点坐标

令 \(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，要求这两条直线交点，只要将这两条直线的方程联立起来求解即可。

分析：解直线 \(l_1\)，\(l_2\) 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，\(l_1\) 与 \(l_2\) 相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 \(l_1//l_2\)；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 重合。

1.3.2 位置关系

设两条直线的方程所组成的方程组为：

1. 若有 \(\displaystyle\frac{A_1}{A_2}=\displaystyle\frac{B_1}{B_2}\ne\displaystyle\frac{C_1}{C_2}(A_2B_2C_2\ne 0)\) 则上述方程组无解，此时两条直线无交点。所以两条直线平行，反之也成立。
2. 若有 \(\displaystyle\frac{A_1}{A_2}\ne\displaystyle\frac{B_1}{B_2}(A_2B_2\ne 0)\) 则上述方程组有唯一解，此时两条直线有一个交点。所以两直线相交，反之也成立。
3. 若有 \(\displaystyle\frac{A_1}{A_2}=\displaystyle\frac{B_1}{B_2}=\displaystyle\frac{C_1}{C_2}(A_2B_2C_2\ne 0)\) 则上述方程组有无数解，此时两条直线有无数个交点。所以两直线重合，反之也成立。

1.3.3 点到直线的距离公式

1.3.3.1 公式

本质上是直线外一点到直线的垂线段的距离。

1.3.3.2 直线系方程

具有某些共同性质的圆的集合叫作圆系，它们的方程叫作圆系方程。

与直线 \(l:Ax+By+C=0\) 平行的直线系方程为

与直线 \(l:Ax+By+C=0\) 垂直的直线系方程为

若直线 \(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\) 与直线 \(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\) 相交且交点为 \(P(x_0,y_0)\)，则过两直线交点的直线系方程为：

证明：

设 \(P(x_0,y_0)\) 是 \(A_1x+B_1y+C_1=0\) 与 \(A_2x+B_2y+C_2=0\) 的交点。

将 \(P(x_0,y_0)\) 代入可得

所以 \(A_1x_0+B_1y_0+C_1+\lambda(A_2x_0+B_2y_0+C_2)=0\)。

即直线 \(A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0\) 经过点 \(P(x_0,y_0)\)。

证毕。

过定点 \(P(x_0,y_0)\) 的直线系方程为

这个有必要浅浅推导一下。

1.3.4 两条平行直线的距离公式

1.4 圆的方程

1.4.1 圆的标准方程

1.4.1.1 推导

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。显然只要确定圆心和半径就可以确定一个圆。

在平面直角坐标系中，设 \(\odot A\) 的圆心 \(A\) 坐标 \((a,b)\)，半径为 \(r\)，\(P(x,y)\) 为 \(\odot A\) 上任意一点，则 \(\odot A\) 就是以下点的集合：

由两点距离公式可得 \(M\) 满足条件为：

两边平方，得：

1.4.1.2 定义

我们把方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 称为圆心为 \((a,b)\)，半径为 \(r(r>0)\) 的圆的标准方程。

1.4.1.3 几种特殊情况

1.4.1.4 点与圆的位置关系

设点 \(P(x_0,y_0)\) 与圆 \(O:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 的圆心 \(O\) 的距离为 \(d\)，则有 \(d=|OP|=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2}\)，具体可以分为三种情况：

1. \(d>r\)，即 \((x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 的外部。
2. \(d<r\)，即 \((x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 的内部。
3. \(d=r\)，即 \((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 上。

1.4.1.5 一些有意思的方程

圆的直径式方程：\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，其中点 \((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\) 是圆的一条直径上的两个端点。

半圆的方程：\(y=b+\sqrt{r^2-(x-a)^2}\)，\(y=b-\sqrt{r^2-(x-a)^2}\) 等。

1.4.3 圆的一般方程

1.4.3.1 推导

将圆心为 \((a,b)\)，半径为 \(r(r>0)\) 的圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 展开并整理可得：

令 \(D=-2a\)，\(E=-2b\)，\(F=a^2+b^2-r^2\)，则原式化为：

配方得：

当 \(D^2+E^2-4F>0\) 时，显然方程表示以 \((-\displaystyle\frac{D}{2},-\displaystyle\frac{E}{2})\) 为圆心，半径为 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\) 的圆。

当 \(D^2+E^2-4F=0\) 时，显然方程表示一个点 \((-\displaystyle\frac{D}{2},-\displaystyle\frac{E}{2})\)。

当 \(D^2+E^2-4F<0\) 时，显然无解。

综上所述，当 \(D^2+E^2-4F>0\) 时方程表示一个圆。

1.4.3.2 定义

当 \(D^2+E^2-4F>0\) 时，方程 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 可以表示一个圆，这个方程叫作圆的一般方程。

1.4.3.3 结构特征

1. \(x^2\)，\(y^2\) 项的系数相同且不等于 \(0\)。
2. 不含 \(xy\) 项。
3. \(D^2+E^2-4F>0\)。

1.4.3.4 点与圆的位置关系

已知点 \(P(x_0,y_0)\) 与圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) ，具体可以分为三种情况：

1. \(x^2_0+y^2_0+Dx_0+Ey_0+F>0\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 的外部。
2. \(x^2_0+y^2_0+Dx_0+Ey_0+F<0\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 的内部。
3. \(x^2_0+y^2_0+Dx_0+Ey_0+F=0\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在圆 \(O\) 上。

1.5 直线与圆、圆与圆的位置

1.5.1 直线与圆的位置关系

1.5.1.1 直线与圆的三种位置关系

1. 直线与圆相交，有两个公共点。
2. 直线与圆相切，有一个公共点。
3. 直线与圆相离，没有公共点。

至于判断的话可以联立直线和圆的方程运用一元二次方程判别式判断。

或者也可以考虑运用点到直线的距离公式，可以根据圆心到直线的距离和半径判断，具体细节不难思考。

1.5.1.2 直线与圆相交的弦长问题

考虑联立圆与直线的方程组来求解，令弦长为 \(L\)。

联立化简为一元二次方程后由韦达定理不难发现：

通常把 \(L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\) 或 \(L=\sqrt{1+k^2}|y_1-y_2|\) 叫作弦长公式。

1.5.1.3 圆的切线问题

考虑三种情况：

1. 当点在圆外时，有两条切线。
2. 当点在圆上时，有且仅有一条切线，且该点为切点。
3. 当点在圆内时，不存在切线。

考虑具体求法。

若要求过圆上一点的圆的切线方程，可以先求切点和圆心连线所在直线的斜率 \(k(k\ne 0)\)，再根据两直线垂直关系可知切线斜率 \(k'=-\displaystyle\frac{1}{k}\)，再由点斜式可知切线方程。如果 \(k=0\) 或者 \(k\) 不存在，则可直接得切线方程 \(x=x_0\) 或者 \(y=y_0\)。

若要求过圆外一点的圆的切线方程，则可以考虑设切线方程，再由圆心到直线距离等于圆的半径可以求出。或者与圆的方程联立，并由 \(\Delta =0\) 求得 \(k\)，从而求出切线方程。

若给定斜率，则可以类比求过圆外一点的圆的切线方程的方法，读者自证不难。

1.5.1.4 一些推论

经过圆 \(x^2+y^2=r^2\) 上一点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程为 \(x_0x+y_0y=r^2\)。

经过圆 \((x-a)^2+(y-b)^2\) 上一点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程为 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)。

经过圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 上一点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程为 \(x_0x+y_0y+D\cdot\displaystyle\frac{x+x_0}{2}+E\cdot\displaystyle\frac{y+y_0}{2}+F=0\)。

已知圆 \(x^2+y^2=r^2\) 的切线的斜率为 \(k\)，则圆的切线的方程为 \(y=kx\pm r\sqrt{k^2+1}\)。

过圆外一点 \(P(x_0,y_0)\) 引圆的两条切线，则切线长为 \(\sqrt{x^2_0+y^2_0+Dx_0+Ey_0+F=0}=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}\)。

过圆 \(x^2+y^2=r^2\) 外一点 \(P(x_0,y_0)\) 引圆的两条切线，切点分别为 \(A\)、\(B\)，则过这两点的直线的方程为 \(x_0x+y_0y=r^2\)。

1.5.2 圆与圆的位置关系

1.5.2.1 圆与圆的三种位置关系

1. 两圆相交，有两个公共点。
2. 两圆相切，包括内切和外切，有一个公共点。
3. 两圆相离，包括外离和内含，没有公共点。

至于判断的话可以分别求出两圆半径 \(R\)、\(r\)，再求出两圆圆心距 \(d\)，则可以根据其关系判断两圆的位置关系：

1. \(d>R+r\Leftrightarrow\) 外离。
2. \(d=R+r\Leftrightarrow\) 外切。
3. \(|R-r|<d<R+r\Leftrightarrow\) 相交。
4. \(d=|R-r|\Leftrightarrow\) 内切。
5. \(d<|R-r|\Leftrightarrow\) 内含。

或者联立两圆方程根据 \(\Delta\) 判断也可以。

1.5.2.2 两圆的公切线

两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可以分为外公切线和内公切线。

至于关系的话，具体可以分为以下几种情况：

1. 两圆外离，有 \(4\) 条公切线。
2. 两圆外切，有 \(3\) 条公切线。
3. 两圆相交，有 \(2\) 条公切线。
4. 两圆内切，有 \(1\) 条公切线。
5. 两圆内含，有 \(0\) 条公切线。

若公切线斜率存在，可以设出方程再由两圆心到公切线的距离分别等于两圆半径可以列方程组求解。若公切线斜率不存在，可以采用瞪眼大法求解。

1.5.2.3 两圆的公共弦

当两圆相交时有一条公共弦。

设圆 \(A:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\)，圆 \(B:\)x^2+y2+D_2x+E_2y+F_2=0$，则易知两圆公共弦所在直线方程 \((D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0\)。

至于求法的话可以联立两圆方程组求出两交点坐标，从而求出公共弦所在直线方程。

1.5.2.4 圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合叫作圆系，它们的方程叫作圆系方程。

同心圆系方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r>0)\)，其中 \(r\) 是参数。

半径相等的圆系方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r>0)\)，其中 \(a\)、\(b\) 是参数。

过直线 \(Ax+By+C=0\) 与圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 的交点的圆系方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda(Ax+By+C)=0(\lambda\in\R)\)。
过两圆 \(A:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\)、\(B:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\) 交点的圆系方程：\(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0(\lambda\ne -1)\)，其中不包含圆 \(B\)，注意检验。

2 圆锥曲线

2.1 椭圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

2.1.1.1 推导

把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。

我们以经过椭圆两焦点的直线为 \(x\) 轴，线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系\(Oxy\)。

设 \(M(x,y)\) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 \(2c(c>0)\) 那么焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的坐标分别为 \((-c,0)\)，\((c,0)\)。根据椭圆的定义，设 \(M\) 与焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的距离的和等于 \(2a\)。由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集：

因为 \(|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},|MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

所以\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\)

整理得 \(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

两边平方得 \((x+c)^2+y^2=4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-(x-c)^2+y^2\)

整理得 \(a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

两边平方得 \(a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2=2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\)

整理得 \((a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\)

两边同时除以 \(a^2(a^2-c^2)\) 得

由椭圆定义易知 \(2a>2c>0\)，即 \(a>c>0\)，所以 \(a^2-c^2>0\)。令 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)，则

这就是椭圆的标准方程，他表示焦点在 \(x\) 轴上且两个焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的椭圆。在这里 \(c^2=a^2-b^2\)。

2.1.1.2 定义

我们把平面内与两个定点 \(F_1\)，\(F_2\) 的距离的和等于常数的（大于 \(|F_1F_2|\)）点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。

椭圆的标准方程有两种形式：

相同点：椭圆的大小和形状都相同，都有 \(a>b>0\)、\(a>c>0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\) 都满足 \(a^2-b^2=c^2\)。

不同点：位置和焦点坐标不同。

2.1.2 椭圆的一般方程

当 \(ABC\ne 0\) 时，将方程 \(Ax^2+By^2=C\) 变形为 \(\displaystyle\frac{x^2}{\displaystyle\frac{C}{A}}+\displaystyle\frac{y^2}{\displaystyle\frac{C}{B}}=1\)，由此可以看出方程 \(Ax^2+By^2=C\) 表示椭圆的充要条件是 \(ABC\ne 0\)，且 \(A\)、\(B\)、\(C\) 同号，\(A\ne B\)。此时方程 \(Ax^2+By^2=C\) 为椭圆的一般方程。

椭圆的方程还可以设为 \(Ax^2+By^2=1(A>0,B>0,A\ne B)\)，将其化成标准方程 \(\displaystyle\frac{x^2}{\displaystyle\frac{1}{A}}+\displaystyle\frac{y^2}{\displaystyle\frac{1}{B}}=1\)。因此，当 \(B>A>0\) 时，其表示焦点在 \(x\) 轴上的椭圆；当 \(A>B>0\) 时，其表示焦点在 \(y\) 轴上的椭圆。

利用一般方程求椭圆方程的优点是可以避免分类讨论。

2.1.3 共焦点的椭圆系方程

与椭圆 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的椭圆方程为 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2+\lambda}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2+\lambda}=1(a>b>0,b^2>-\lambda)\)。

与椭圆 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2}+\displaystyle\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的椭圆方程为 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2+\lambda}+\displaystyle\frac{x^2}{b^2+\lambda}=1(a>b>0,b^2>-\lambda)\)。

2.1.4 点与椭圆位置关系判断

设点 \(P(x_0,y_0)\)，则依据椭圆定义有：

1. \(|PF_1|+|PF_2|<2a\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在椭圆内部。
2. \(|PF_1|+|PF_2|=2a\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在椭圆上。
3. \(|PF_1|+|PF_2|>2a\Leftrightarrow\) 点 \(P\) 在椭圆外部。

相应地，还有以下推论：

1. 点 \(P\) 在椭圆内部 \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{x^2_0}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2_0}{b^2}<1\)。
2. 点 \(P\) 在椭圆上 \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{x^2_0}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2_0}{b^2}=1\)。
3. 点 \(P\) 在椭圆外部 \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{x^2_0}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2_0}{b^2}>1\)。

2.1.5 与焦点有关的三角形

在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以作为一个三角形的三个顶点，这样的三角形就是焦点三角形。这个三角形中一条边的长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数。我们把以椭圆的两个焦点和椭圆与无焦点的坐标轴的一个交点为三个顶点的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形．

相关结论如下：

1. 焦点三角形的周长 \(C=2a+2c\)。
2. 焦点三角形的面积 \(S=c|y_m|=\displaystyle\frac{1}{2}|MF_1||MF_2|\sin\angle F_1MF_2=b^2\tan\displaystyle\frac{\angle F_1MF_2}{2}\)。
3. 在焦点三角形 \(MF_1F_2\) 中，由余弦定理可得 \(|F_1F_2|^2=|MF_1|^2+|MF_2|^2-2|MF_1|\cdot|MF_2|\cos\angle F_1MF_2\)。

2.1.2 椭圆的简单几何性质

2.1.2.1 范围

由 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 可知 \(\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2}\geqslant 0\)

显然 \(\frac{x^2}{a^2}\leqslant 1\)

即 \(-a\leqslant x\leqslant a\)

同理有\(-b\leqslant x\leqslant b\)

这说明椭圆位于直线 \(x=\pm a\) 和 \(y=\pm b\) 围成的矩形框里。

2.1.2.2 对称性

在 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中

1. 以 \(-y\) 代 \(y\) 时方程不变，说明椭圆关于 \(x\) 轴对称。

2. 以 \(-x\) 代 \(x\) 时方程不变，说明椭圆关于 \(y\) 轴对称。

3. 同理以 \(-x\) 代 \(x\)，\(-y\) 代 \(y\) 时方程不变，说明椭圆关于原点对称。

综上所述，椭圆关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴，对称中心为原点。

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

2.1.2.3 顶点

在 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中

1. 令 \(x=0\)，得 \(y=\pm b\)，因此 \(B_1(0,-b)\)，\(B_2(0,b)\) 是椭圆与 \(y\) 轴的两个交点。
2. 令 \(y=0\)，得 \(x=\pm a\)，因此 \(A_1(0,-a)\)，\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。

这四个交点叫做椭圆的顶点。

\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\)，\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

2.1.2.4 离心率

椭圆 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的长半轴长为 \(a\)，半焦距为 \(c\)。利用信息技术，保持长半轴长 \(a\) 不变，改变椭圆的半焦距\(c\)，可以发现，\(c\) 越接近 \(a\)，椭圆越扁平。类似地，保持 \(c\) 不变，改变 \(a\) 的大小，则 \(a\) 越接近 \(c\) ，椭圆越扁平；而当 \(a\)，\(c\) 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变。这样，利用 \(c\) 和 \(a\) 这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。

我们把椭圆的焦距与长轴长的比 \(\displaystyle\frac{c}{a}\) 称为椭圆的离心率，用 \(e\) 表示，即 \(e=\displaystyle\frac{c}{a}\)。

因为 \(a>c>0\)，所以 \(0<e<1\)。\(e\) 越接近\(1\)，\(c\) 越接近 \(a\)，\(b=\sqrt{a^2-c^2}\) 就越小，因此椭圆越扁平；反之，\(e\) 越接近 \(0\),

\(c\) 越接近 \(0\)，\(b\) 越接近 \(a\)，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当 \(a=b\) 时，\(c=0\)，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为

椭圆离心率的计算方法：

1. \(e=\displaystyle\frac{c}{a}\)。
2. \(e=\displaystyle\frac{c}{a}=\sqrt{\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}}\)。

2.2 双曲线

2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1.2 推导

观察双曲线，发现它也具有对称性。而且直线 \(F_1F_2\) 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的直线 \(x\) 轴，线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系 \(Oxy\)。设 \(M(x,y)\) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 \(2c(c>0)\)，那么焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的坐标分别是 \((-c,0)\)，\((c,0)\)，又设 \(||MF_1|-|MF_2||=2a\)(\(a\) 为大于 \(0\) 的常数，\(a<c\))。由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

因为 \(|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},|MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

所以 \(\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a\)

类比椭圆标准方程推导过程化简得 \((c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)

两边同时除以 \(a^2(c^2-a^2)\) 得 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)

由双曲线定义易知 \(2a<2c\)，即 \(a<c\)，所以 \(c^2-a^2>0\)。

类比椭圆标准方程建立过程，令 \(b^2=c^2-a^2(b>0)\)，则

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 \((x,y)\) 都是方程的解；以方程的解为坐标的点 \((x,y)\) 与双曲线的两个焦点\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的距离之差的绝对值都为$ 2a$，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程是双曲线的标准方程，它表示焦点在 \(x\) 轴上，焦点分别是 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的双曲线，这里 \(c^2=a^2+b^2\)。

2.2.1.2 定义

一般地，我们把平面内与两个定点\(F_1\)，\(F_2\) 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2.2.1.3 双曲线的一般方程

当 \(ABC\ne 0\) 时，将方程 \(Ax^2+By^2=C\) 变形为 \(\displaystyle\frac{x^2}{\displaystyle\frac{C}{A}}+\displaystyle\frac{y^2}{\displaystyle\frac{C}{B}}=1\)，由此可以看出方程 \(Ax^2+By^2=C\) 表示双曲线的充要条件是 \(ABC\ne 0\)，且 \(A\)、\(B\) 异号。此时方程 \(Ax^2+By^2=C\) 为双曲线的一般方程。

双曲线的方程还可以设为 \(Ax^2+By^2=1(A>0,B>0,A\ne B)\)，将其化成标准方程 \(\displaystyle\frac{x^2}{\displaystyle\frac{1}{A}}+\displaystyle\frac{y^2}{\displaystyle\frac{1}{B}}=1\)。因此，当 \(A>0\) 时，其表示焦点在 \(x\) 轴上的双曲线；当 \(B>0\) 时，其表示焦点在 \(y\) 轴上的双曲线。

2.2.1.4 共焦点的双曲线系方程

与双曲线 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的双曲线方程为 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2+\lambda}-\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1(a>b>0,a^2>-\lambda,b^2>\lambda)\)。

与双曲线 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的双曲线方程为 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2+\lambda}-\frac{x^2}{b^2-\lambda}=1(a>b>0,a^2>-\lambda,b^2>\lambda)\)。

2.2.1.5 双曲线的焦点三角形

若 \(P\) 是双曲线上任意一点，当 \(P\)、\(F_1\)、\(F_2\) 不在同一条直线上时，它们构成 \(\triangle PF_1F_2\)，该三角形叫作双曲线的焦点三角形。

三角形面积 \(S=\displaystyle\frac{b^2}{\tan\displaystyle\frac{\theta}{2}}\)

2.2.2 双曲线的简单几何性质

2.2.2.1 范围

类比研究椭圆范围方法，观察双曲线。

显然双曲线上点的横坐标范围 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\)。

由双曲线标准方程可得

显然双曲线上点的坐标 \((x,y)\) 都适用于不等式 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}\ge1,t\in\R\)。

即：\(x^2\geqslant a^2,y\in\R\)

所以 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\)，\(y\in\R\)。

这说明双曲线位于直线 \(x=-a\) 及其左侧和直线 \(x=a\) 及其右侧的区域。

2.2.2.2 对称性

类比研究椭圆对称性的方法，容易得到双曲线关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴，对称中心为原点。

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

2.2.2.3 顶点

在双曲线标准方程中

1. 令 \(x=0\)，得 \(y=-b^2\)，无解，说明双曲线和 \(y\) 轴无公共点。
2. 令 \(y=0\)，得 \(x=\pm a\)，因此 \(A_1(0,-a)\)，\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。

这两个交点叫做双曲线的顶点。

\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为双曲线的实轴和虚轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\)，\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.

2.2.2.4 渐近线

经过两点 \(A_1\)，\(A_2\) 作 \(y\) 轴的平行线 \(x=\pm 3\)，经过两点 \(A_1\)，\(B_2\) 作 \(x\) 轴的平行线 \(y=\pm 2\)，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是 \(\displaystyle\frac{x}{3}\pm\displaystyle\frac{y}{2}=0\)。可以发现，双曲线 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{4}=1\) 的两支向外延伸时，与两条直线 \(\displaystyle\frac{x}{3}\pm\displaystyle\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近，但永远不相交.

一般地，双曲线 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 的两支向外延伸时，与两条直线 \(\displaystyle\frac{x}{3}\pm\displaystyle\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。

在双曲线方程 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 中，如果 \(a=b\)，那么方程变为 \(x^2-y^2=a^2\)，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 \(2a\)。这时，四条直线 \(x=\pm a\)，\(y=\pm a\) 围成正方形，渐近线方程为 \(y=\pm x\)，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线具有如下性质：

1. \(e=\sqrt{2}\)。
2. 渐近线方程 \(y=\pm x\)。
3. 渐近线互相垂直。
4. \(a=b\)。

已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴所得的双曲线共轭双曲线称为已知双曲线的共轭双曲线。

与双曲线 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 有相同渐近线的双曲线方程为 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\ne 0)\)。

与双曲线 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 有相同渐近线的双曲线方程为 \(\displaystyle\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=\lambda(\lambda\ne 0)\)。

2.2.2.5 离心率

与椭圆类似，我们把双曲线的焦距与实轴长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为双曲线的离心率，用 \(e\) 表示，即 \(e=\frac{c}{a}\)。因为 \(c>a>0\)，所以双曲线的离心率 \(e=\frac{c}{a}>1\)。

2.3 抛物线

2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1.1 推导

首先浅浅作个图。

\(F\) 是定点，\(l\) 是不经过点 \(F\) 的定直线，\(H\) 是直线 \(l\) 上任意一点，过点 \(H\) 作 \(MH\perp l\)，线段 \(FH\) 的垂直平分线 \(m\) 交 \(MH\) 于点 \(M\)。拖动点\(H\)，点 \(M\)​ 随之运动。可以发现，在点 \(M\) 随着点 \(H\) 运动的过程中，始终有 \(|MF|=|MH|\)，即点 \(M\) 与定点 \(F\) 的距离等于它到定直线 \(l\) 的距离，点 \(M\) 的轨迹形状与二次函数的图象相似。

根据抛物线的几何特征，我们取经过点 \(F\) 且垂直于直线 \(l\) 的直线为 \(x\) 轴，垂足为 \(K\)，并使原点与线段 \(KF\)的中点重合，建立平面直角坐标系\(Oxy\)。设\(|KF|=p(p>0)\)，那么焦点 \(F\) 的坐标为 \((\frac{p}{2},0)\)，准线 \(l\) 的方程为 \(x=-\frac{p}{2}\)。设 \(M(x,y)\) 是抛物线上任意一点，点 \(M\) 到准线 \(l\) 的距离为 \(d\)。由抛物线的定义，抛物线是点集

因为 \(|MF|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2},d=|x+\frac{p}{2}|\)

所以 \(\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=|x+\frac{p}{2}|\)

两边平方并化简得

这是抛物线的标准方程，他表示焦点在 \(x\) 轴正半轴上，焦点是 \((\displaystyle\frac{p}{2},0)\)，准线是 \(x=-\displaystyle\frac{p}{2}\) 的抛物线。

2.3.1.2 定义

我们把平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\)(\(l\) 不经过点 \(F\))的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 \(F\) 叫做抛物线的焦点，直线 \(l\) 叫做抛物线的准线。

2.3.2 抛物线的简单几何性质

2.3.2.1 范围

因为 \(p>0\)，显然对于抛物线上的点 \(M(x,y)\)，\(x\ge0\)，\(y\in\R\)，当 \(x>0\) 时，抛物线在 \(y\) 轴右侧，开口方向与 \(x\) 轴正方向相同。当 \(x\) 的值增大时，\(|y|\) 的值增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

2.3.2.2 对称性

以 \(-y\) 代 \(y\)，方程不变，则抛物线关于 \(x\) 轴对称。我们称之为抛物线的轴。

2.3.2.3 顶点

抛物线及其轴交代为抛物线的顶点，因为 \(x=0\) 时 \(y=0\)，所以抛物线的顶点就是原点。

2.3.2.4 离心率

抛物线上的点 \(M\) 与焦点 \(F\) 的距离和点 \(M\) 到准线的距离 \(d\) 的比 \(\displaystyle\frac{|MF|}{d}\) 叫做抛物线的离心率，用 \(e\) 表示。由抛物线的定义可知，\(e=1\)。

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