固态激光雷达的几何模型及标定方法（续）
校准方法
由于背反射脉冲的强度也可以测量，所以从现在起将扫描光学器件的一个帧视为一个图像。通过这种方法，每个扫描方向都成为它的一个像素，如图3所示。理想情况下，从一个像素到下一个像素的角分辨率Δ?将在整个FOV中保持不变，因此视角??和??对于在行和列（i，j）处的像素，将简单地线性如下：
其中，??和??分别表示列和行的数量、水平测量值和垂直测量值。
图3.（a） LiDAR的采集帧的方案，显示了MEMS动力学的（黑色）像素位置（i，j）和FOV的（红色）扫描角度之间的关系。（b） 奇数和偶数行的失真映射函数的方案，????和?????,将采集帧内的像素位置与最终扫描角度相关联。
校准模式和算法
为了获得这组测量值，如图4所示，在带有吸收性光学导管带的平面墙上，构建了一个尺寸为4×2m、宽度为200mm的正方形规则网格。然后，将激光雷达原型放置在面向图案的已知Z距离处，因此可以使用方对所有扫描网格的交点求解两个视角。
现在分别详细介绍三个映射函数。回想一下，像素位置被标准化为
以及
。
映射1：光学类映射
将半径定义为
，径向
和
切向传统的光学系数应用于图像上的公共失真中心
和
。
映射2：交叉映射
交叉项不是使用传统的失真系数，而是使用更通用的函数引入，但使用相同的公共失真中心。
申请影响的交叉项
鉴于
对于
。
Y映射3：多中心交叉映射
最后，这个方程不是为所有函数在图像上使用唯一的失真中心，而是为每个项提供了具有特定失真中心的自由度。
校准模式和算法
为了获得这组测量值，如图4所示，在带有吸收性光学导管带的平面墙上，构建了一个尺寸为4×2m、宽度为200mm的正方形规则网格。然后，将激光雷达原型放置在面向图案的已知Z距离处，因此可以使用方对所有扫描网格的交点求解两个视角。
图4. 激光雷达的校准模式和位置的方案。
图5中的方案描述了算法1中伪代码中的逐步过程，该过程在实践中使用Matlab©实现（算法1使用信号处理、计算机视觉和优化库中的标准Matlab©函数实现。）。回想一下，对于提出的校准方法，将扫描光学器件的框架视为由偶数和奇数扫描线组成的图像，将其分割为两个图像，如上文所述和图3所示。在使用图像处理进行线检测后，以亚像素分辨率获得奇数和偶数图像的像素位置，该图像处理包括对图像进行二值化以处理与图案的黑线对应的像素位置、将其与图像上的二维线拟合并计算其交点。然后，根据方程（10）的NLSQ问题，将这些像素位置与已知网格尺寸和激光雷达位置一起引入优化求解器，以估计两者?→和?→所选映射函数的参数向量。最后，使用方程（7）的激光雷达扫描方向的球面描述，从映射的??和??.因此，生成的点云在整个系统的FOV上进行校准。
图5. 逐步算法方案用于映射函数的估计。
原型
为了在不同视场和失真的情况下测试该方法，使用了Beamagine S.L.的两个具有不同视场的远程固态激光雷达原型。对于第一个，使用了一个30×20∘
FOV原型具有300×150像素（45k点），而对于第二个，使用了50×20∘
FOV，500×150像素（75 k点）。
这两种扫描系统都基于MEMS技术，在水平和垂直方向上用电压控制信号驱动它们，水平方向是最快的，从而使它们的帧速率都达到10fps。如图6所示，图6显示了用放置在相同距离的两个原型获得的校准图案的两个图像，第二个系统由于其更宽的FOV而在MEMS动力学中表现出更强的失真和不对称性。
图6. 使用（a）30×20校准图案的采集图像∘
FOV和（b）50×20。
FOV激光雷达原型。
4.结果
一旦介绍和讨论了通过映射固态激光雷达系统的角分辨率来表征其扫描方向的模型和方法，现在让介绍他们的结果。首先，将使用该模型来模拟30×20∘FOV原型，并将其与实验结果进行比较。稍后，将介绍和讨论两个原型的校准结果。
4.1模型仿真
首先，研究了Snell定律和MEMS非线性动力学的综合效应对角失真的影响。使用方程（4）和图1中所示的一组参考系统，整个扫描方向，可以根据MEMS反射镜的倾斜角度的值来计算?和?。然后，根据方程（5）和图2，在每个方向的系统的整个FOV上应用恒定的光学放大率，获得水平和垂直扫描角。
在30×20∘FOV原型的情况下，它创建了300×150像素的点云，并且MEMS是倾斜的?=−25∘根据规格相对于激光源。使用两种方法模拟扫描两个方向上的角度分辨率：作为角度的完美线性变化?和?（因此，仅包括由于Snell定律引起的失真效应），并且，以更现实的方法，对最快轴进行建模?反射镜的正弦变化，分别如图7a、c所示。
图7. 分别假设（a）MEMS的线性运动和（c）MEMS在其最快方向上的谐波运动，两个扫描方向的角分辨率（b）和（d）的模拟概率直方图为的红色曲线?整个运动的裁剪线性区域显示为蓝色。均匀分辨率的计算????=27.5∘和????=16.5∘。
如果系统是理想的，并且具有恒定的角分辨率，则获得给定角分辨率值的概率将是在
，并且在
，如图7b中的箭头所示。直方图越宽，与理想的均匀线性情况的偏差就越大，如图7d所示。
结果表明，即使MEMS动力学是完全线性的，由于Snell定律的固有非线性，角分辨率仍会出现轻微的加宽。如果反射镜的运动不是线性的，则Δ函数的这种加宽显著增加，如图7d所示，其中正弦运动的非线性?导致
的值分布广泛。
为了进一步描述这种效果，模拟了从3.8m的已知距离扫描校准图案得到的图像，并将其与实验捕获进行了定性比较。稍后，在比较整个FOV的角度分辨率时，这种比较将成为定量的，也进行比较。这两幅图如图8所示。正如预期的那样，由于系统中不同的非线性导致角分辨率的波动，它们都呈现曲线而不是直线。还请注意，垂直线在图像底部是如何被特别修改的，它们在图像底部向中心弯曲，这表明不仅MEMS反射镜的快轴，而且慢轴都呈现非线性行为，这将在后面讨论。此外，可以理解图像的奇数行和偶数行之间的不对称行为。
图8.（a） 使用30×20∘FOV原型在3.8m处的网格图案的模拟图像和（b）实验图像。
校准结果
在模拟模型后，将正在考虑的两个原型放置在距网格图案3.8米的已知距离处，以测试校准算法。对图像上的网格线进行跟踪和拟合，如图9所示，每个激光雷达原型分别产生45和95个交点，这是测量的像素位置
。
图9.（a）30×20∘和（b）50×20?FOV原型的奇数图像上的网格控制点。
根据等式（10），向最小化算法提供一组测量的扫描角
以及它们各自的像素位置
以便找到第3.2节中引入的三个建议映射函数的参数。为了比较它们的性能，计算所有控制点的测量扫描角和使用映射函数估计的扫描角之间的误差。如图10所示，作为优值，使用所有控制点的角误差平均值、其标准偏差和角误差值，其中拟合其概率密度函数（PDF）的伽玛函数在95%的置信值内。
图10. 使用方程（13）中的映射函数Map 3，（a）30×20∘FOV原型和（b）50×20?FOV原型的奇数线的角度误差（蓝色）水平和（红色）垂直的概率密度函数（PDF）。95%置信区间之外的角度误差是填充区域。
此外，包括在失真FOV内部的矩形区域被认为是系统的均匀FOV。请注意，由于失真，矩形区域将始终比设计的FOV更细，从而提供较低但具有指示性的角度值。在表1中，给出了两个原型的每个映射函数的最优值的获得结果。
表1. 测试原型的映射结果。请注意，单位为毫度（∘/1000），除均匀FOV外，所有图形的最佳性能都以粗体突出显示，均匀FOV以度为单位，表示失真图与设计的矩形FOV的距离。
上表显示，与针对两种激光雷达测试的其他非线性映射函数相比，具有径向和切向系数的类光学映射函数Map 1导致视角的估计不那么准确。假设光学失真具有径向对称性的事实被认为是这种行为的主要原因。尽管如此，尽管它们的性能与30×20∘相当。
当系统的FOV更宽，因此失真更强时，Map 3功能显示出改进的结果。这可以是非线性项的畸变光学中心相对于Map 2具有更多自由度的结果。然而，请注意，对于所有映射函数，同构FOV与原型设计的FOV非常相似。因此，从现在起，所呈现的结果对应于第三映射函数Map 3。
图10显示了所有控制点的视角映射中所犯错误的概率密度函数（PDF）。一方面，两种激光雷达原型的PDF在垂直方向上都较窄，因为它是较慢的运动方向。另一方面，使用相同的映射函数，30×20∘FOV原型在两个扫描方向上呈现较小的误差，这与系统的FOV越宽，其呈现的失真越高的事实一致。
为了将分析模型与所提出的校准方法获得的结果联系起来，图11将快轴模拟正弦MEMS动力学的30×20∘FOV原型的角分辨率变化与通过映射函数Map 3获得的变化进行了比较，如图11a所示。此外，它还显示了图11c中50×20∘设备的相同Map 3的结果。
图11. 奇数行的（蓝色）水平和（红色）垂直分辨率变化的比较。（a）30×20∘FOV原型的快速扫描轴正弦动力学仿真。（b） 30×20∘FOV原型的映射函数Map 3的结果。（c）50×20∘的结果。
一方面，将图11b与图11c进行比较，可以再次观察到上述关于更宽FOV对失真影响的陈述。另一方面，可以很容易地观察到，图11b中所示的水平方向上的角分辨率映射变化，比垂直方向上的变化更接近模拟情况图11a中所述的变化。这表明即使是慢扫描方向的运动，也不是完全线性的。
这在图12中进一步显示，其中30×20∘的水平和垂直角分辨率变化图的表面图。
分别给出了整个视场的视场原型。图12a，b对应于模拟的变化，而图12c，d对应于使用映射函数Map 3测量的变化。理想情况下，对于垂直角分辨率的变化，预计会有一个平坦的表面，这就是图12b所示的情况，然而，实验上存在轻微的变化，如图12d所示。
图12. 30×20∘FOV原型的整个FOV的水平和垂直角分辨率变化的比较。（a，b）快速扫描轴的正弦动力学。（c，d）映射函数Map 3的结果。
如图13c、d所示，图10中先前显示的控制点上的承诺角误差可以用二次谐波样条拟合，以便在系统的整个FOV上插值。因此，可以将图13a、图13b中水平方向和垂直方向的角分辨率变化与图13c、图13d中映射函数的相应承诺误差进行比较。
图13. 30×20∘FOV原型在其FOV上的映射函数Map 3的结果。（a）水平和（b）垂直角分辨率。（c）水平和（d）垂直承诺角度误差。
可以理解，所承诺的角误差低于激光雷达的角分辨率的数量级，甚至在FOV的一些区域中低于一个数量级。因此，可以得出结论，测试的映射函数是跨越激光雷达设备的视场的可变角分辨率的良好近似。
最后，请注意，图12和图13都显示了点云的中心的点密度低于FOV的边缘，因为它们更为分离，特别是在水平方向上。这一结果符合MEMS动力学，因为在水平扫描线的中间，其速度高于在扫描方向发生变化并阻尼振荡的边缘。
对点云的影响
到目前为止，所提出的方法的结果都是用扫描角度来表示的，但很明显，这种校准误差对测量点云的精度有定量影响。
使用误差传播理论，最终点误差
及其标准偏差
,它被解释为它的不确定性，可以从角误差的值中推导出来??和??图13所示的映射扫描角度。因此，可以估计设备在其整个视场中的最终横向精度，单位为毫米，当然要知道距离误差与测量的距离值成正比。此外，将它们与均匀角分辨率的理想（但不真实）情况下产生的结果进行比较，可以定量衡量提出的方法带来的改进。
为此，图14显示了此处描述的两个原型的初始未校准和最终校准点云失真的比较。图14a、图14c中的两个PDF分别显示了30×20∘FOV原型和50×20 \87.28；原型的角度误差的改善，而图14b、图14d显示了距离误差的改善。如前所述，距离误差来自传播角度误差。请注意，最后的距离误差是一个三维误差
，但对于比较唯一的测量值，只有范数
已被考虑。
图14. 与均匀角分辨率的理想情况相比，改进了（a，b）30×20∘和（c，d）50×20?FOV原型的校准。（a，c）角误差的概率密度函数，即（红色）未校准和（实线）校准情况下（虚线）的水平扫描方向和（蓝色）垂直扫描方向。（b，d）终点距离误差的范数。
从图14a，c中可以观察到，与理想的未校准情况相对应的虚线在两个方向上的角度误差都比校准产生的实线大。如图14b，d所示，传播这种角度误差并比较原型整个视场中每个扫描位置的距离误差的范数，表明校准方法相对于未校准的情况有了非常显著的改进。更大的视场也意味着更大的误差，这就需要校准过程的相关性，就像这里为具有更大视场的激光雷达设备提供的校准过程一样。
如前所述，最快的扫描方向呈现更高的失真，因此呈现更大的误差。由于该方向是水平方向，并且MEMS的非线性动力学在极端情况下更大，因此最终距离误差的大小也在相同方向上增加。图14显示，对于两个激光雷达原型，应用建议的校准后，角度误差的PDf较窄。结果，与对于均匀角度情况获得的误差相比，最终距离误差小一个数量级。特别是，整个FOV的误差平均值及其不确定性分别减少了约1/40和约1/30。
从经验上讲，这些改进可以在测量的点云中直接观察到。图15将使用所提出的校准方法获得的点云与假设相同场景的恒定角分辨率的点云进行了比较。使用30×20∘
FOV原型，正如所评论的，是具有较小距离误差的原型。即使在这种情况下，道路在之前的点云中也不是完全笔直的，如图15a所示。
图15.（e）场景的30×20∘FOV原型点云。（a）以前的校准点云。（b）呈现的校准点云。（c） 以及（d）分别在（a）和（b）的地平面上的正交投影。（f） 测得的路标之间的距离被视为地面实况。
如果地平面旋转到?=0平面，因此点云从上方的正交投影如图15c和15d所示。构成人行道护栏的杆的投影应为直线。一方面，杆在未校准的点云中明显没有形成直线，如图15c所示，这意味着横向精度较差。另一方面，它们也更宽，因此横向精度也较差。
为了提供定量指标，用卷尺对每个路钉之间的实际距离进行了物理测量，并将其作为图15f所示的地面实况。然后，将点云上每个路标的计算质心投影到地平面上?=0，并将其与地面实况进行比较，获得以度量单位表示的距离，该距离表示由于FOV失真导致的点云上的绝对度量误差。
对于未校准的情况，所考虑的绝对误差的平均值导致几个100 mm的值，而对于校准的情况来说，它小一个数量级。特别是，对于距离激光雷达20至40 m的这些捕获，校准情况下的平均横向误差及其不确定度为±20 mm（±30 mm），另一种情况下为±700 mm（±300 mm）。这些结果与图14所示的预期横向误差和不确定性非常匹配，证实了校准在一个数量级上的改进。需要注意的是，在100米的范围内，30×20和50×20的FOV激光雷达原型的校准点云的相应横向精度分别为±48毫米（±32毫米）和±77毫米（±42毫米）。
结论
已经为激光雷达设备的扫描系统引入了一个仅基于Snell定律及其特定力学的几何模型，只要仔细描述其扫描原理，就可以对其他扫描技术使用相同的程序，无论是基于固态的还是机械的。例如，基于光学相控阵器件（OPA）的固态激光雷达系统可以使用所提出的方法将其电气控制信号（如频率）与最终扫描方向相关联。
特别是，对于在这项工作中分析的基于固态MEMS反射镜的系统，将其扫描方向与MEMS器件的倾斜角度联系起来，并对其进行了测试，以符合包括此类元件的通用固态激光雷达器件的性能。此外，这种模型可以用于表征MEMS动力学，这可以是朝着反射镜振荡的闭环控制，或者可替换地，朝着通过为系统的每个扫描方向设置适当的倾斜角动力学来校正光学器件的角失真和MEMS动力学的第一步。
此外，所提出的几何模型能够实现校准方法，该校准方法提供对扫描系统的变化的角分辨率的精确估计。想强调的是，这种方法和提供的球面描述对任何扫描技术都是通用的。因此，任何其他激光雷达设备都可以使用它们并利用它们的优势，总结如下。
所提出的工作已用于提高测量点云的精度，这将更可靠地作为机器学习过程的输入。特别是，已经表明，它们的横向位置测量精度提高了整整一个数量级，保留了最终点云上物体的形状。此外，考虑到映射函数的精度低于系统的分辨率，可能会提出其他函数，但会获得类似的结果。
总的来说，据所知，这项工作首次为基于MEMS反射镜的激光雷达扫描系统提供了一个通用模型，该模型提供了一种基于扫描仪角度误差测量的简单校准程序，该程序已被证实准确、简单且有助于此类设备的表征。