惯性导航中的噪声模型

惯性导航中，常用的噪声模型有四种：高斯白噪声、随机游走、一阶马尔科夫过程和随机常值。在IMU器件手册中，噪声通常用角度随机游走angular random walk(ARW)和速率随机游走velocity random walk(VRW)来描述。下面分别进行说明：

一、高斯白噪声

高斯白噪声的含义可以从两方面理解：

高斯：是指噪声的幅值在时域上是符合高斯分布的，可以用两个参数(一阶矩噪声均值\(\mu\)和二阶矩噪声方差\(\sigma^2\))来描述。
白：白是指噪声在频域上的分布是常数（即任何频率的分量都是相等的）。对于大多数系统来说，因为其系统带宽会大于其工作信号带宽，所以该系统内的噪声都可近似认为是"白噪声"。与"白"相对应的是"有色"噪声，即不同频率上噪声强度不同。

白噪声的强度：因为白噪声是功率信号(能量无限)。所以其强度通常用功率谱密度(PSD)来描述，单位为(信号单位)^{2/Hz，如陀螺仪的PSD单位为(rad/s)}2/Hz，加速度计的PSD单位为(m/s²⁾2/Hz。很多时候，也将PSD开根号来表示噪声的强度，即(信号单位)/sqrt(Hz)，这样陀螺仪的噪声强度为(rad/s)/sqrt(Hz)，加速度计的噪声强度为(m/s^2)/sqrt(Hz)。其他的谱密度单位还有deg/s/sqrt(Hz)、deg/sqrt(hr)、m/s/sqrt(Hz)、mGal/sqrt(Hz)。
白噪声的功率：白噪声的功率和其功率谱密度和系统带宽乘正比，且功率等于幅值RMS的平方，即\(P=\mathrm{PSD}*\mathrm{BW}=\mathrm{RMS}^2\)。

白噪声的自相关：

\[E\left\{ w(t_1)w(t_2) \right\} = q \cdot \delta(t_1-t_2) \]

可以看出，不同时刻的白噪声是丝毫不相关的。

联想：信号的自相关和功率谱互为傅里叶变换。

噪声的幅值可以通过时间平均的方式来降低，且与平均时间的平方根成反比。

二、随机游走

定义：随机游走是白噪声的积分，如下图所示：

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随机游走的噪声功率：

\[\begin{align} E\left\{ \beta^2(t) \right\} &= E\left\{ \int_0^tw(\tau_1)d\tau_1\int_0^tw(\tau_2)d\tau_2 \right\}\\ &=\int_0^t\int_0^tE\left\{ w(\tau_1)w(\tau_2)\right\}d\tau_1d\tau_2\\ &=\int_0^t\int_0^tE\left\{ w^2(\tau) \right\} d\tau d\tau\\ &= q \cdot t \end{align} \]

其中，\(q\)为被积分的白噪声功率强度（如果是高斯白噪，也是它的二阶矩）。

从随机游走的定义可以看出，某一时刻的随机游走噪声和该时刻之前的随机游走噪声都是相关的（因为当前时刻噪声是由之前时刻噪声积分而来）。

三、一阶马尔可夫过程

定义：一阶马尔可夫过程的特性介于白噪声和随机游走之间，其数学模型为：

\[\dot{x}(t) = -\frac{1}{\tau}x(t)+\sqrt{\frac{2\sigma^2}{\tau}}w(t) \]

一阶马尔克夫过程的相关函数：

\[R(t)=\sigma^2e^{\frac{\tau}{t}} \]

图示：

从上图可以看出，一阶马尔克夫噪声的相关性由参数\(\tau\)决定，\(\tau\)越大，噪声的相关长度就越长。噪声功率由其激励白噪声\(w(t)\)的噪声功率\(\sigma^2\)决定。所以，一阶马尔可夫过程是一个很好的用于建模噪声或随机变量的模型，可以调整\(\sigma^2\)来调整噪声的强度，调整时间常数\(\tau\)来调整噪声的相关程度。