现在开始讨论一个新的课题：从“物质由大量原子组成，它们之间存在着电相互作用，并遵从力学定律”这种物理观点出发，我们企图了解为什么不同的原子集合会表现出它们所具有的特色。这是一个困难的课题，它和力学和电学有着很大的不同：在学习力学和电学的过程中，我们能够从某些基本定律出发本质地理解一大批现象，再以这些现象为基础了解更多的东西，换言之我们只是在学习用以更好处理问题的数学方法。而研究物质的性质时，一方面现象与定律之间相隔太远，尽管每一步的分析我们都尽量做到精确，而最后的结果却越来越不精确；另一方面，从经典物理学定律出发推到的结论很多时候在根本上就是不正确的，因为原子的行为遵循的实际上是量子力学规律；同时，对这些现象的分析需要对概率论有深刻的了解，因此我们只是着重从重要的地方出发作近似，对这些现象有个大致的了解。
压强
我们谈论的“压强”本质上是分子运动撞击物体产生的力。为了定量对这种现象做出分析，我们设想有一个容器，容器里充满气体分子，右端是一个活塞。如果不在活塞上施加一个力\(F\)，活塞就会因为受气体分子的撞击而运动。当\(F\)的大小恰好使得活塞平衡时，我们就可以用\(F\)来表示气体分子的撞击力了，因为它们二者相等。
表示力的一种方法是考察每单位面积上的力。我们可以接受，活塞上受力应当是均匀的，因此我们可以用这个单位面积上的力\(\dfrac{F}{S}\)来表示活塞受到的力，这就定义为压强\(P\)。
还可以从做功的角度来理解这个定义。根据\(dW=-Fdx\)，代入\(F=PS\)，就得到\(dW=-PSdx\)，而在我们的模型里\(Sdx=dV\)，因此\(dW=-PdV\)。即压强乘以体积的变化量等于做功。
现在我们想建立压强与分子运动之间的联系。我们认为分子和活塞的碰撞是弹性碰撞。这是合理的，因为否则我们就会产生额外的能量，而在我们设定的平衡条件下气体有稳定的运动状态，活塞也没有损耗能量。在三维空间中，与活塞发生弹性碰撞的气体分子只在一个坐标方向上（不妨设为\(x\)）速度反向，其它速度不变，因此动量变化量为\(2mv_x\)。考虑很短的一段时间\(\Delta t\)，只有在\(x\)方向上与活塞相距\(v_x\Delta t\)内的分子才会打到活塞上。设单位体积内分子数为\(n\)，计算出活塞受到的冲量为\(F\Delta t=n v_x \Delta t S m(2v_x)\)。解得\(P=2nmv_x^2\)。可是并非所有分子的\(v_x\)都相同，因此我们需要取平均值——首先，只有一半的分子是从左往右运动的，还有一半运动方向相反，因此一定不会打到活塞上，因此我们需要除一个因子2。其次考虑向右运动的分子的\(v_x\)，由于分子的运动是四面八方的，它没有理由特别青睐某一个方向，因此各个方向上的平均速度都应当相等， 因此\(\lang v_x^2\rang=\lang v_y^2\rang=\lang v_z^2\rang\)，因此\(\lang v_x^2 \rang=\dfrac{1}{3}\lang v^2 \rang\)。这样代入就得到\(P=\dfrac{1}{3}nm\lang v^2 \rang\)。由于单个分子的动能是\(\dfrac{1}{2}mv^2\)，因此我们可以把压强表示成\(P=\left(\dfrac{2}{3}\right)n\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)。
如果气体分子是单原子分子，那么平均动能\(\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)乘以总原子数就是该气体的全部能量，因为每个分子内部没有其余内部的能量了。我们把这个总能量记为\(U\)，并把\(n\)表示为总原子数除以总体积\(\dfrac{N}{V}\)，就得到压强和能量的关系\(PV=\dfrac{2}{3}U\)。这里的系数2来自动能，它是积分的结果；系数3来自我们空间的维数是3。
如果我们把活塞缓慢往里推，始终保持活塞平衡，那么外力\(F\)将做功，根据压强的定义\(dW=-PdV\)。假设外力做功把能量全部转化为气体内部原子的能量（这个过程称为绝热过程，当然我们还没定义什么是“热”，我们现在就把“热”等同地理解为气体的总能量（内能）；绝热过程是我们设想的理想情况，在现实中分子的撞击会带动容器壁的运动，从而带动容器外的分子运动，这样能量就耗散出去了），那么\(dW\)就加在\(U\)上，\(dU=-PdV\)，而\(\dfrac{2}{3}U=PV\)。这样我们就写出了一个微分方程：\(\dfrac{2}{3}dU=d(PV)\)，即\(-\dfrac{2}{3}PdV=VdP+PdV\)。为了更一般地讨论这个方程，我们记\(\gamma-1=\dfrac{2}{3}\)，那么我们的方程就是\(-(\gamma-1)PdV=VdP+PdV\)，分离变量得\(-\dfrac{\gamma dV}{V}=\dfrac{dP}{P}\)，积分得\(-\gamma\ln V=\ln P+C\)，得\(PV^{\gamma}=C'\)：在绝热过程中压强和体积的\(\gamma\)次方的乘积为定值。在单原子分子的情形中，\(\gamma=\dfrac{5}{3}\)，因此\(PV^{\frac{5}{3}}\)为定值。人们已经用实验验证过确实如此。
\(P=\dfrac{1}{3}nm\lang v^2 \rang\)可以写成动量的形式\(P=\dfrac{1}{3}n\lang p \cdot v\rang\)，这样我们就可以讨论“光子”这样的物质的压强了。太阳还不够热，其中仍有太多的原子。在更热的恒星中，我们可以忽略原子，认为唯一的客体就是光子。对光子来说，\(p \cdot v = mc^2=E\)，因此压强的式子写作\(PV=\dfrac{1}{3}U\)，在这里\(\gamma = \dfrac{4}{3}\)，因此对于光子的绝热过程来说\(PV^{\frac{4}{3}}\)是定值。这就是辐射的压缩性，是我们用来分析恒星上辐射压强贡献的关系式。
温度
在压缩气体的时候，分子的能量增加，我们的日常语言通常把这种现象描述为“气体变热了”。“变热”这一事实指的是物体“温度升高”。但什么是温度呢？经验表明，当我们使一个“热的东西”和一个“冷的东西”接触足够长的时间以后，它们最终会到达“相同温度”的状态——“温度高的东西”会将“热量”向“温度低的物体”传递，哪怕它本身具有的能量是更低的。把一个微小的火苗靠近一座冰山，结果是火苗的温度降低，冰山的温度升高，但显然冰山由于分子众多应当具有更大的能量。日常经验说明有“温度”这样一个量存在。那么温度到底度量的是分子层面的什么呢？
设想一个封闭容器的中间有一个活塞，活塞的两边是两种不同的气体。这是为了类比两个接触的物体。那么“温度的相同”就反应为“活塞平衡”，如果温度不同活塞就要运动，直到最后建立起一个平衡。活塞的平衡等价于两边气体压强相同，即\(P_1=\left(\dfrac{2}{3}\right)n_1\left\langle\dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=\left(\dfrac{2}{3}\right)n_2\left\langle\dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)，化简得到\(n_1\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=n_2\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)。这个平衡有没有可能是\(n_1>n_2\)，而\(\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle<\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)形成的呢？如果是这样，那么活塞受到的是一种不稳当的压力——撞击不是绝对均匀的，左边原子较多而能量较小，发生的是频繁的小撞击，而右边原子较少能量较大，发生的是缓慢的大撞击——这样的撞击会导致活塞产生晃动，这种晃动将影响两侧气体的运动，换言之它引起了两边气体的能量交换，直到达到某种平衡，在单位时间内两边的能量交换是相等的。我们最终会证明，达到平衡时两边的平均动能是相等的，因此必须要求两边的原子数是一样多的，不然活塞就永远不可能平衡。
这是一个困难的问题。我们先来分析另一个问题，假设我们把两种气体放进同一个容器。那么显然，如果其中一个气体的所有分子都静止而另一种气体的所有分子都运动，那么碰撞会使得原来静止的气体分子动起来；如果一种气体的分子动的全都比另一种快，那么一会儿后慢的气体也会快起来。我们想要分析的是平衡时它们的速度会是怎么样的。这依然是一个困难的问题。我们这样来分析：在研究弹性碰撞的时候我们证明过相对两个物体的质心，碰撞前后物体的速度只改变方向不改变大小。气体分子的碰撞不一定是对心碰撞，碰撞后它们保持原先的速率可能飞向任何方向。因此我们选取某个特定的点，质心保持在这个点上静止的任意两个分子在空间中沿所有方向运动的概率都是相等的。而在实际情况中，任意两个分子的质心不一定是静止的，因此速度需要叠加上质心的速度\(v_{CM}=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\)。此时结论变成了“两个分子的相对速度方向相对于质心的速度\(v_{CM}\)在任何方向上都是相等的”，即两分子的相对速度相对于质心速度\(v_{CM}\)的夹角是均匀分布的，这意味着\(v_1-v_2\)在\(v_{CM}\)上的投影的“平均值”为0，即\(\lang (v_1-v_2)\cdot v_{CM} \rang=0\)。代入得\(\left\langle \dfrac{m_1v_1^2-m_2v_2^2+(m_2-m_1)v_1 \cdot v_2}{m_1+m_2}\right\rangle =0\)。即\(m_1 \lang v_1^2\rang -m_2\lang v_2^2\rang+(m_2-m_1)\lang v_1 \cdot v_2\rang=0\)。\(\lang v_1 \cdot v_2\rang\)显然为0，因为任意的分子的运动方向都是任意的，对于每个确定的\(v_1\)都有\(v_1 \cdot v_2\)的平均值为0，综合起来依然为0。这样我们就分析得到了必须有\(\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)。
那么假如气体是被分开的，是否也有相同的结论？我们想象容器内有一块隔板，隔板中间有一个小孔，它只能让其中一侧的分子漏过去，由于是弹性碰撞，气体的总能量是不会发生变化的，所以混合的气体的能量的结论可以直接拿过来用。如果这个隔板是活塞，我们可以证明活塞的动能（水平运动的能量）也和气体的平均动能相同。
所以，当两种气体“处于相同温度”时，它们的平均动能相等。这表明“平均动能相等”是“平衡时的一种现象”，所以我们就用“平均动能”来度量“温度”，以使其满足“平衡时相等”这一特性。因此最好的办法就是把平均动能本身作为温度的定义，但为了数学上的方便，我们在它们之间乘上一个系数——
理想气体定律
——来使得它代入压强的表达式的时候写的简洁。根据\(PV=\left(\dfrac{2}{3}\right)N\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)，我们就把\(\dfrac{2}{3}\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)定义为\(kT\)，其中\(T\)是温度，\(k=1.38 \times 10^{-23}\text{ J/K}\)。因此分子的平均动能就可以写作\(\dfrac{3}{2}kT\)，沿某一方向的平均动能就是\(\dfrac{1}{2}kT\)。
由此我们得到了公式\(PV=NkT\)，这就是理想气体定律。为了方便，我们用摩尔而不是原子数来计数， 基于阿伏伽德罗常数\(N_0=6.02 \times 10^{23}\)，定义\(R=N_0 k=8.317 \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)。这样理想气体定律就写作
——根据牛顿定律，在同样的温度同样的压强下，相同体积的不同气体具有相同的分子数！这是一个令人惊异的结论。
尽管我们只对单原子气体分子证明了这个结论，但我们要指出这个结论对于多原子气体分子也是成立的：这个定理的核心就是对温度的定义，而在定义温度的时候我们考虑的核心是气体分子的碰撞。我们之所以怀疑多原子气体分子在这个定律上的正确性，在于此时气体分子内部有作用力，但这些作用来碰撞这种“瞬间作用”下是可以忽略的，因此我们的整个论证都是依然可行的。