这道题目千岩万转，需要用到多次转化，其中有一些转化较为常见，有一些则需要思考。
首先观察原问题：给定数列 \(a\)，对于所有 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，构建一张只有 \(j-i\le k\) 的 \((i,j)\) 之间有权值为 \(\max\{a_{p_i}, a_{p_j}\}\) 的边的图，求所有图的最小生成树边权和。
由于他都列出所有排列了，那么 \(a\) 如何就无所谓了，我们可以直接排序，排序的好处是能把 \(\max\) 挪到下标上。这样题目就变成了：给定数列 \(a\)，对于所有 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，构建一张只有 \(j-i\le k\) 的 \((i,j)\) 之间有权值为 \(a_{\max\{p_i, p_j\}}\) 的边的图，求所有图的最小生成树边权和。
接下来看到边权和，应当第一时间想到计算每个权值的贡献，我们记 \(a_i\) 这个权值在所有图中出现了 \(g_i\) 次，那么答案就是 \(\sum a_ig_i\)。根据最小生成树的 Kruskal 求解方式，此时计算已经和数列 \(a\) 无关了，只和 \(a\) 内大小关系有关，我们应当从小到大选择不成环的边加入生成树。
目前仍然是不可做的，继续尝试转化，常见的技巧是令 \(g_i=f_i-f_{i-1}\)，其中 \(f_i\) 表示 \(a_1\) 到 \(a_i\) 这些权值出现的总次数。这样我们就可以聚焦于求解 \(f(x)\)：对于所有 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，构建一张只有 \(j-i\le k\) 且 \(\max\{p_i, p_j\}\le x\) 的 \((i,j)\) 之间有边的图，求在所有图中从小到大选不成环的边能选出来的总数。
接下来再找能转化的条件，我们不能白把 \(\max\) 扔进下标，显然此时只有 \(p_i\le x\) 的点才能连边。这时候要时刻提醒自己 \(p\) 是个排列，所以这样的点拿出来一共有 \(x\) 个，他们之间可以随便连边，这也印证了前面 \(g\) 的转化是正确的，否则就无法随便连边。这样要求就只剩下了不成环和下标差 \(\le k\) 两个条件了。
假设现在给定了排列 \(p\)，那么这 \(x\) 个点就可以确定，考虑如何连边最优。由于跟下标有关，我们就假设拿出来的这些点下标是递增的，那么显然应当尽量在相邻点之间连，可以证明如果连的不是相邻点，可以修改得更不劣。所以接下来的问题就变成了：对于所有 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，从 \(p\) 中拿出所有 \(p_i\le x\) 的数构成新数列 \(q\)，求满足 \(q_{i+1}-q_i\le k\) 的间隔个数。
此时我们只剩下所有排列需要杀了，这仍然应当让你想到计算贡献。对于每个间隔，我们分别计算他的贡献，显然间隔之间是无关的，应当先计算某一个间隔的答案。我们不妨钦定这两个相邻的数差 \(k'\)，最后只需要对 \(1\sim k\) 的 \(k'\) 求和就好了。此时我们不用管其他位置，他们会在钦定别人时被算上，可以任意填充。由于钦定了这两个差 \(k'\) 的数，那么就相当于从剩下的下标里面选数，这时方案为 \(\dbinom{n-k'-1}{x-2}\) 种。而这两个差 \(k'\) 的数在原数列中位置共有 \(n-k'\) 种，所以总共的方案数是 \((x-1)\sum_{k'=1}^k \dbinom{n-k'}{x-1}\)。再加上排列的部分，\(\le x\) 的部分排一下，\(>x\) 的部分排一下，答案就再乘上一个 \(x!(n-x)!\)。
到此，我们解决了这道题目。
排序、算贡献、做差、贪心、算贡献，虽然弯弯绕绕，但每一步都有迹可循，是数数题中比较锻炼综合能力的。