摘要：数学建模对于引导学生灵活运用数学知识解决实际问题提供了良好的平台，高校也开展了丰富的数学建模教学活动。然而，在高校数学建模教学的过程中，传统以案例为核心与以模型和算法为核心的两种教学方法弊端逐渐显露。因此，本文建议使用计算思维作为数学建模教学的第三种范式。教学的内容包括如何使用量与关系描述数学问题、离散与连续的相互转换、精确解与近似解的统一、转化与类比的思想、质性分析与量化分析的综合运用、问题导向的统计学思维、不同场景的知识迁移等。本文建议数学建模的教学应该从模型中心向思维中心转变，从教中学向干中学转变，从零散知识点向线索化教学转变。该理念的提出对于数学建模教学改革有一定参考价值。
背景
数学建模能力对于高等院校的学生而言是一项核心的素养。它的意义不仅在于其能够解决实际问题，更在于它能够培养学生的创新思维和解决问题的能力。与此同时，中国、美国等多个国家或地区都开展了数学建模竞赛，学生需要运用各种数学知识来解决实际问题。这不仅提高了学生的数学水平，还培养了他们的团队合作精神和创新意识。然而，我们发现在高校中的数学建模教学不够体系化，而教学的内容并不能完全满足实际问题的需要。这导致学生在数学建模的学习中缺乏学习线索，从而难以获得数学建模能力上的提升。
目前的教学模式大体上可以分为以模型算法为核心的教学法和以案例为核心的教学法。以案例为核心的教学基本特征是以实际案例为出发点，引导学生通过分析和研究案例，应用数学知识解决实际问题。这种教学方式注重学生的主体性和实践性，鼓励学生通过探究和实践来获取知识和技能。但由于案例的选取范围非常广，学生在解决实际问题的过程中难以对数学知识和方法进行有规律的整合。更为严重的是，某些院校在教学过程中照本宣科，考试考核的内容以具体的案例为主进行笔试，这并不是数学建模教学的初心。数学建模所需要的是学生能够在完全陌生的问题背景中灵活应用数学工具，而非机械性记忆现有的简单的案例。
以模型为核心的教学则以常用的数学工具为主要线索（例如运筹学，常微分方程，统计学，机器学习，元胞自动机等），重点引导学生学习算法的基本理论与数学原理。这种模式为学生扩展了数学理论，使得学生能够深入背后的数学原理，并在实际应用中体会数学工具的应用。对于数学知识的整合也有了模型与算法的线索作为指导。但这样的模式对于学生的知识储备要求较大，难以快速学习，这就要求教师在教学过程中要做到有的放矢。另外，由于对数学理论的侧重过大，学生在学习过程中往往表现出模型求解能力偏弱的现象。
因此，需要对现有的教学模式进行改良，找到新的教学中心线索来串联数学建模的知识体系。得益于计算思维这一概念的引入，可以通过计算思维作为主线串联数学建模知识，把教学的重心放在解决实际问题和传播数学思想上。更进一步地说，计算思维实际上可以作为数学建模教学的第三种范式。
计算思维在数学建模中的体现
计算思维的特点在于它是一种抽象的思维方式，注重问题的可计算性。它强调问题的分解、抽象和符号化，以及使用算法和数学模型来解决问题。计算思维与数学建模思想具有高度的契合性，可以将计算思维在数学建模中的体现作为数学建模教学的第三种范式。
2.1使用量与关系描述数学问题
如何使用量与关系描述数学问题是学习数学模型的核心。在数学建模的过程中，最核心的工作就是如何将用自然语言描述的问题转化为用数学语言描述的问题，其实质就是如何使用量与关系来描述数学问题。常见的数学量包括：标量、向量、矩阵等，而关系又存在方程关系、不等式关系、函数关系等多种关系描述。在具体的教学过程中，不仅要传播具体的算法与知识，更要引导学生理解问题的背景并掌握如何从自然语言中发现数学问题。这个过程将帮助学生使用计算思维来串联学习到的知识。
2.2离散与连续的相互转换
离散与连续是数学学科中一对非常重要的概念。在离散模型的连续模型的处理过程中，二者存在诸多不同之处；但与此同时，对于某些问题，二者由具有高度互通性。例如，在对于人口预测问题的数学模型中，某些数学模型将其抽象为离散的递推过程去求解，例如某些基于矩阵或数列的模型（Leslie模型）；但同时，一些数学模型又会使用连续函数的微分方程作为载体描述人口随时间的变化规律。这两种模型同时都可以对人口变化的过程进行建模，同时二者也存在互通性。当使用计算机求解微分方程数值解的问题时，非常重要的操作就是将解空间离散化从而便于使用欧拉法或龙格库塔法求解，这本质上也是连续问题离散化的一种反映。与此同时，在数据处理问题中，某些离散的数据特征可以使用连续特征的某些处理方法来进行数据规约；而某些连续化的特征在决策树等模型中也会被离散化处理。一些机器学习模型的算法原理实际上也体现了离散与连续的辩证统一关系。
2.3精确解与近似解的辩证统一
在一些常规问题中，对精确解的推导和分析是非常重要的工作。但与此同时需要意识到，并不是所有数学问题都存在或适合求精确解，这时数值近似的重要性不言而喻。一方面，对于方程或微分方程而言，在多数情况下我们更愿意求解它的数值解，而在求解过程中最核心的过程仍然是数值计算方法的设计。例如，在解某些不规则边界条件中的偏微分方程时我们可以基于一些数值方法将解空间网格化并可视化它的结果。而在数值解被解出以后，又可以反过来基于符号解的一些性质讨论的方法来探讨解的稳定性。另一方面，对于某些大规模规划问题来说，有些多约束规划并不适合使用传统方法求解。这时需要考虑使用一些智能优化算法（如遗传算法等）进行求解，但这个解往往是数值近似解。但对于某些问题来说，一味地使用智能优化算法却又并不是一个好的选择。所以，在教学过程中，计算思维的目的之一就是引导学生去感受怎样的问题适合精确解，怎样的问题适合数值解；使用数值解时，又如何对结果的误差进行探究，对模型的灵敏性进行分析等。这是一个比较大的概念。
2.4转化与类比的思想
转化思想是数学学科中非常值得体会的一种思想。对学生转化思想的锻炼与培养，能够使学生在掌握数学建模知识的同时，能够将已有知识灵活转化为复杂的实际问题。这里以美国中学生数学建模竞赛的2020年B题为例，问题需要对美国提出的“plastic bottle ban”进行数学建模以探究它对于经济上的影响。有学生探究这一禁令对饮料市场的冲击，并创新性地将生态学中的捕食者模型(Lokta-Volterra模型)进行类比。将塑料瓶装饮料和其它种类饮料当作市场系统中存在竞争关系的种群，利用微分方程组描述它们之间的竞争关系，并通过政策影响来调节参数观察解的变化。这是一个非常巧妙的想法，类似的例子还有很多。而计算思维所要做的就是积极引导学生将思维放的开阔一些，将看似很难联系到一起的内容通过转化与类比进行大胆地迁移，从而理解数学模型的实质在于数学过程而非应用领域。
2.5质性分析与量化研究的综合运用
数学建模是一种使用数学方法揭示自然科学或社会科学中数量关系并求解问题的手段，但解决问题并不等同于必须具体地揭示量与关系。在这一过程中，质性研究方法所展现出的科学性、完整性与学理性同样有着重要的作用。质性分析方法更多的能够为解决问题提供充分的学科理论基础，为进一步的数学建模提供领域知识或指标体系。而量化过程则更多的是在学科理论的基础上对具体的量给出统计测度，对领域知识进行数学上的翻译，对问题的目标进行精确化与明细化。例如，在解决“几种植物的物种入侵程度评价”过程中，质性分析就可以以生态学资料为基础帮助我们构建评估物种入侵的指标体系，随后可以根据数据给出不同指标的统计测度，进而使用一些评价类模型（例如AHP、TOPSIS等）给出结果的评估。计算思维在这一过程中的主要作用就是引导学生明确质性分析与量化分析的地位与作用，并灵活地将二者结合起来。
2.6问题导向的统计学思维
在大数据时代背景下，对于统计知识的理解和运用是数学建模中一个非常热门的话题，学生对此也非常感兴趣。但学生目前所遇到的困境在于：难以从具体的数据中抽象出问题；对于统计学与机器学习中不同问题的界定与区分难以形成明确的概念；对于数据挖掘的流程难以形成一种全面整体的把握。而计算思维需要引导学生，把注意力从算法放到数据本身和问题本身上来，以问题为导向，综合运用多种分析手段（数据处理，假设检验，机器学习等）将问题进行分解与抽象。从陌生问题中构造出熟悉的角度，将模型的每个环节都放在解决问题上，这正是基于问题导向的统计学思维所想要传递的。
2.7不同场景的知识迁移
数学建模的问题来源于实际场景，最终模型也会被应用在实际场景上。可以说，解决数学建模问题的实质是能够快速理解与学习场景，并将数学理论迁移到场景上。但场景在实际问题中可以是丰富多样的。小到身边实际问题，大到目前学术前沿问题，都可以是数学建模的真实场景。在这个过程中，学生需要意识到无论是生活场景还是学术前沿问题，它们的数学模型本质上是同源的。而在数学建模的教学过程中，需要将不同背景下的问题高度凝练成为同一个简单模型，然后再从简单的模型出发一步步变得复杂多样。从复杂到简单，由简单到复杂，这个辩证关系同样是计算思维所需要传递的。通过对于不同背景问题的把握，学生能够理解如何从陌生背景中凝练数学模型，从而降低学生的畏难情绪。
3.对数学建模教学的建议
基于上面对于计算思维在数学建模内涵中的体现，提出几点教学过程中的建议：
3.1由“模型中心论”向“思维中心论”转变
以往的数学建模教学往往以模型为中心线索串联知识点，这样的教学思路往往……。而以思维为线索串联数学建模的知识体系则更有利于学生把握数学建模的核心思想本质，而对于数学基础和领域知识的要求则更弱一些，更有利于学生快速学习。具体地，以不同的思想方法为教学内容，在每个思想中轮换式穿插不同的数学理论（如微分方程、优化、统计等）体会不同数学工具、不同背景中相同的数学思想。
3.2由“教中学”向“干中学”转变
传统数学建模教学更加侧重于“教”而非“学”，即过于强调知识点的完整性而忽略了学生的实践。数学建模是一门应用型数学科目，更需要学生动手实践，但学生的动手实践过程中教师往往缺乏过程中观察与引导，而是实践后的一些简单建议。这样的实践难以使学生体会过程的规范性和完整性。所以，数学建模的教学应该从“教中学”向“干中学”转变，多让学生实践，教师将任务进行阶段化的细分与评价规则的明确。在每个步骤中进行实干更有利于学生掌握数学建模的核心思想。
3.3由零散知识点向线索串联转变
以往的数学建模教材多以模型为主，介绍的背景和案例虽然多却很难找到一条完整的主线将诸多模型串联起来。某些教材以算法为核心，但数学建模算法种类繁多，同样难以使用明晰的大纲揭示不同算法之间的演化关系或从属关系。因此，我们建议使用线索串联的方式，可以以数学建模中的计算思维为线索，将不同的模型案例、算法、模型探究、简单模型到前沿问题等联系起来，从而使得学生的学习更加具有体系化。
结论
通过对数学建模教学现状与问题的分析可以发现，计算思维不仅应当作为数学建模的核心思想，更可以作为教学的主要内容和线索。通过对不同思想方法的教学与探究，学生能够在课堂上把握主动权，体会计算思维的内涵，形成独特的知识框架并能熟练运用数学工具。这一教学范式的构建对于数学建模课程改革有一定借鉴意义。
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