0. 前置知识与基本定义

\([op]\)：值为 \(1\) 当且仅当方括号内条件为真。记为艾弗森括号
唯一分解定理：一个正整数 \(x\) 可以被唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}\)，其中 \(\forall i\in[1,m],p_i\in \mathbb{P}\)。（关于\(\mathbb{P}\)，详见初等数学瞎扯Ⅰ：同余相关）。

1. 数论函数

1-1. 数论函数及其相关定义

数论函数：定义域为正整数的函数为数论函数，可以视作数列。
陪域：可能的取值范围。
加性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 且 \(a\perp b\) 均有 \(f(ab)=f(a)+f(b)\)，则称 \(f\) 为加性函数。
积性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 且 \(a\perp b\) 均有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为积性函数。
完全积性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 均有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为完全积性函数。完全积性函数一定是积性函数。
数论函数的加法：对于数论函数 \(f,g\)，若存在函数 \(h\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , h(x)=f(x)+g(x)\)，则 \(h=f+g\)。
数论函数的数乘：对于数论函数 \(f\)，若存在函数 \(g\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , g(x)=cf(x)\)，则 \(h=cf\)。
数论函数的点乘：对于数论函数 \(f,g\)，若存在函数 \(h\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , h(x)=f(x)\cdot g(x)\)，则 \(h=f\cdot g\)。

1-2. 常见数论函数

1-2-1 单位函数

记作 \(\epsilon\)，其中 \(\epsilon(n)=[n=1]\)。

\(\epsilon\) 是完全积性函数，证明显然。

1-2-2 常数函数

记作 \(I\)，其中 \(I(n)=1\)，有时简写作 \(1\)。

\(I\) 是完全积性函数，证明显然。

1-2-2 恒定函数

记作 \(id_k\)，其中 \(id_k(n)=n^k\)。

\(id_k\) 是完全积性函数，证明显然。

特别的，当 \(k=1\) 时，我们省略 \(k\)，简记为 \(id\)。

1-2-3 本质不同质因子函数

记作 \(\omega(x)\)，即为对 \(x\) 做唯一分解后的 \(m\)。

特殊的，\(\omega\) 为加性函数，这也是介绍的唯一一个加性函数。

1-2-4 除数函数

记作 \(\sigma_k(x)\)，可表示为 \(\sum\limits_{d|n}d^k\)，对于 \(k=0\) 时原式表示约数个数，可以记作 \(d(x)\) 或 \(\tau(x)\)，简写规则与恒定函数相同，且 \(\sigma(x)\) 表示 \(x\) 的约数个数和。

除数函数是积性函数，证明如下。
除数函数有计算式如下

\[\sigma_k(x)=\begin{cases} \prod\limits_{i = 1} ^ m (c_i + 1) & k = 0 \\ \sum\limits_{i = 1} ^ m \frac{p_i ^ {(c_i + 1)k} - 1}{p_i - 1} & k > 0\end{cases} \]

对于 \(k=0\)，其相当于对质数做乘法原理。

对于 \(k\neq 0\)，其相当于做完排列组合后相加，交换枚举顺序后等比数列求和即可得证。这里从略。

故其显然为积性函数。