各代数结构定义
群
对于一个集合 \(G\) 和运算 \(\times\)，若其满足：封闭性、结合律，具有单位元，对于每个元素都有逆元，则称呼 \((G,\times)\) 为一个群。
阿贝尔群，或交换群是运算满足交换律的群的称呼。半群是运算满足封闭性、结合律加上一个集合的代数结构。
域
对于一个集合 \(K\) 和两个运算 \(+\) 和 \(\times\)，满足：
-
\((K,+)\) 是交换群，并记其单位元为 \(0_K\)。
-
\((K-\{0_K\},\times)\) 是交换群。
-
\(\times\) 对 \(+\) 有分配律。
则称 \((K,+,\times)\) 为域。
线性空间
给定域 \((K,+,\times)\) 与某集合 \(V\) 与两种运算 \(\oplus\) 和 \(\cdot\)。
\((V,\oplus)\) 应为阿贝尔群，\(\oplus\) 叫向量加法（实际上不要求 \(V\) 是向量集合）。
\(\cdot\) 称为数乘，\(\cdot:K\cdot V\mapsto V\)，记为 \(kv\)。
\(V\) 中元素称为向量，\(K\) 中元素称为标量。称呼 \(K\) 的两种运算为标量加法、标量乘法。
若满足数乘对向量加法、标量加法分配律，且：
数乘结合律：对于 \(a,b\in K,(a\times b)\cdot\mathbf{u}=a\cdot(b\cdot u)\)
标量乘法单位元：对于 \(K\) 的乘法单位元 \(1\)，有：\(1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}\)
则称 \((V,+,\cdot,K)\) 为一线性空间。
不是很严谨地说，标量乘法对应着一种「缩放」，基域 \(K\) 中的元素就代表着缩放的「比例」，向量加法对应「叠加」。同时，\(K\) 中的元素还代表着向量的「坐标」的取值范围。——OI wiki
运算统称为线性运算。
性质：（以下设零向量为 \(\theta\)）
- \(\theta\) 唯一
- \(\forall\alpha\in V,-\alpha\) 唯一（这里减法定义为 \(-\oplus\)）
- \(\exists 0\in K,\forall\alpha\in V,\) 有 \(0\cdot\alpha=\theta\)
- \(\forall k\in K\), 有 \(k\cdot\theta=\theta\)
- \(\forall\alpha\in V,(-1)\cdot\alpha=-\alpha\)
- 无零因子：\(\forall\alpha\in V,k\in K,k\cdot\alpha=\theta\implies k=0\lor\alpha=\theta\)
- 加法的消去律：\(\forall\alpha,\beta,\gamma\in V,\alpha\oplus\beta=\alpha+\gamma\oplus\beta=\gamma\)
下面，由于可以判断是哪种乘法和哪种加法，统一使用 \(+\) 和 \(\times\)。
线性无关、有关
定义
称 \(a_1,a_2,\dots ,a_n\in V\) 为 \(V\) 的一个向量组。
在此基础上，对于 \(k_1,k_2,\dots,k_n\in K\)，称 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n k_ia_i\) 为该向量组的一个线性组合；
若向量 \(\beta\in V\) 可以表示为向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 的一个线性组合，则称 \(\beta\) 能被向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 线性表出。
对于 \(k_1,k_2,\dots,k_n\in K\), 若向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 满足\(\displaystyle\sum_{i=1}^nk_ia_i=\theta\iff k_i=0, i=1,2,\dots,n,\) 则称向量组\(a_1,a_2,\dots,a_n\) 线性无关，否则称向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 线性相关。
性质
称两向量组等价，当且仅当一个向量组的所有元素都可以被另外一个向量组线性表出。等价关系是满足传递性的。符号为 \(\cong\)。
替换定理：设线性无关向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 可以由向量组 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 线性表出，则 \(n\le m\)，且存在一排列 \(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_m\)，使得向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n,b_{\sigma_{n+1}},b_{\sigma_{n+2}},\dots,b_{\sigma_{m}}\) 等价于向量组 \(b_1,b_2,\dots,b_m\)。
证明考虑对 \(n\) 归纳。
可以由替换定理证明，两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。
有几条性质:
-
若向量组的一部分线性相关，则向量组线性相关。若向量组线性无关，则其任意非空部分均线性无关。
-
含 \(\theta\) 的向量组线性相关。
-
向量组线性相关当且仅当向量组的某个向量可以由其余向量线性表出。
此基础上可以定义极大线性无关向量组。
容易证明，任意极大线性无关向量组的大小相同。记作原向量组的秩。等价的向量组的秩相等。
线性空间的变体
线性包 span
对于线性空间 \((V,+,\cdot,K), \left\{v=\sum_{i=1}^nk_ia_i:a_i\in V,k_i\in K,i=1,2,\dots,n\right\}\) 也构成一线性空间，称为由向量组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 张成 的线性空间（或 线性包），记作\(\operatorname{span}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)。
线性子空间
对线性空间 \((V,+,\cdot,K),\) 若代数系统 \((V_1,+,\cdot,K)\) 满足：
- \(\varnothing\ne V_1\)
- \(V_1\subseteq V\)
- \(V_1\) 关于 \(+,\cdot\) 构成 \(K\) 上的线性空间
则称 \(V_1\) 为 \(V\) 的线性子空间，简称子空间，记作 \(V_1\leq V\)。同样有真线性子空间 \(V_1<V\)。
由阿贝尔群的定义，线性空间 \(V\) 的非空子集 \(V_1\) 是其线性子空间当且仅当线性运算在 \(V_1\) 上封闭。