前言
- 看2023年新高考的形势这种题考的概率挺低了，总之还是写一下加深印象。可以当做一个人闲得无聊营业玩儿。
- 化齐次/取对称点作差是常规解法，但是大多时候特别麻烦让人没有写下去的欲望。
- 其实绝大部分也可以用对数均值不等式代替，我也很喜欢这种优美的解法。可惜考试的时候需要先证明再用，丧失了大部分的优美性。
题目描述
\(f(x)=m\) 存在两个根 \(x1,x2\)，让你求证一个关于 \(x1,x2\) 的不等式（有时候是常数，有时候还会带 \(m\)）
一般的题目形式是这样子，求证：\(x1+x2<k\) , \(x1x2<k\) , \(ax1+bx2<k\) , \(x1^ax2^b<k\)，\(g(x1)<g(x2)\)。
对于 \(3\),\(4\) 两种，\(x1\) 和 \(x2\) 地位不平等，大部分就是极值点左/右偏换了个系数形式来写，道理还是类似的，一般可以转成地位平等然后继续做。
我们这里主要讨论的是 \(g(x1)<g(x2)\) 的形式，并且前面几种都可以通过变形转换成 \(g(x1)<g(x2)\) 的形式。（具体的，不妨设\(x1>x2\), \(x1+x2<k \to x1^2-kx1<x2^2-kx2\),\(x1x2<k\to \ln^2x1-\ln k\ln x1<ln^2x2-\ln k\ln x2\)）
正文
转化过后的题目都是这样子：\(f(x)=m\) 存在两个根 \(x1,x2\)，让你求证 \(g(x1)<g(x2)\)。
重要性质：这两个函数满足：\(f\) 的极值点和 \(g\) 的极值点是相同的。如果不相同，要么是出题人恶心人，故意给一个不逼紧的界限，调整一下即可；要么就不能用下述方法做了，或者不称这类题是极值点偏移。
大致思路是这样的：
- 需要证明 \(g(x1)<g(x2)\)，如果单调就直接证明完了，但是 \(g\) 函数不是单调的，所以考虑两边同时加一个相等的东西让她单调。
- 显然加常数没卵用，这时候就得用到题目中 \(f(x1)=f(x2)\) 的性质了，我们考虑两边同时加一个关于 \(f(x)\) 的简单函数，即 \(h(x)=g(x)+F(f(x))\)，\(F\) 是简单多项式函数，大部分题目里是一次函数，少部分题目是二次函数。
- 证明 \(h(x)\) 是单调的。就有 \(h(x1)<h(x2)\)，再两边同时减掉 \(F(f(x))\)，原命题得证。
举个例子：
已知 \(f(x)=x\ln x-x=m\) 存在两根 \(x1,x2\) ，求证：\(x1+x2>2\)。
不妨设 \(x1>x2\)，首先化成同构形式，不等式两边同乘以 \((x1-x2)\)，那么令 \(g(x)=x^2-2x\)。构造 \(h(x)=g(x)-2f(x)=x^2-2x\ln x\)，则有 \(h'(x)=2(x-lnx-1)>0\)，于是 \(h(x)\) 就是个单增函数，有 \(g(x1)-2f(x1)>g(x2)-2f(x2)\)，结合 \(f(x1)=f(x2)\)，原命题得证。
看似很轻松，一步解决，但是重点就是 \(h\) 这个函数是如何构造出来的。下文着重讲构造方法。
先讲应试掌握的方法，即大部分情况适用的方法。
根据上文提到的重要性质，\(f\) 和 \(g\) 的极值点都记为 \(x0\)，可以写作\(x0\) 是 $f $ 和 \(g\) 导函数的零点，\(h\) 函数又是 \(f,g\) 组合起来的，那么就有了 \(h'(x0)=0\)。
我们注意到，你要求 \(h\) 单调，并且 \(h'\) 存在零点，那么 \(x0\) 也是 \(h'\) 的极值点。显然 \(h\) 单调的必要条件是 \(h''(x0)=0\)。
于是我们使用待定系数法令 \(h(x)=g(x)+af(x)\)，然后根据 \(h''(x0)=0\) 解出 \(a\) 即可。最后还得对 \(h\) 求导验证单调性。
这样显然是不严谨的，但是已经可以解决绝大部分题了。下面给出更严谨的方法。
我们考虑到 \(h''(x0)=0\) 不能完美的刻画条件，也就是非充分条件，因为有可能 \(x0\) 仅是 \(h'(x)\) 这个函数凹凸性转换的拐点，而非极值点，正负性依旧是不定的（参考 \(y=x^3\) 这个函数在 \(x=0\) 处导函数是 \(0\)，但是并非恒正/恒负的函数）于是用 \(h'''(x0)\neq0\) 来刻画，但是如果 \(h'''(x0)=0\) 的话，就得继续 \(h''''(x0)=0,h'''''(x0)\neq0\) ...递归下去。
可以根据此过程总结出规律，\(h\) 函数需要满足：\(h^{(k)}(x0)\neq0;h^{(t)}(x0)=0;t=0,1,2...,k-1;2\nmid k\)。
（证明后续再补，挖坑）
于是我们就可以把 \(f,g\) 两个函数同时在 \(x0\) 处进行泰勒展开，然后用 \(f\) 对 \(g\) 进行消元，一直消偶次项直到下一个奇次项非 \(0\) 为止。
（多次消元的实例后续再补，挖坑）
闲话：
- 这个做法是午休不经意想到并完善的，结合了网上一些相关文章写了一点自己的理解。
- 泰勒展开消元是草稿纸上的事情，答卷上只要写出构造的函数并证明单调就可以了，当然不能写错，非常规做法写错可能就 \(0\) 分。
- 可能还有不完善的地方后续再补。