偏序集的定义
我们要讨论偏序集，与它对应的是我们熟悉的“全序集”。比如，实数就是一个全序集，给定任意两个实数\(a,b\)，那么“\(a \leq b\)”和“\(b \geq a\)”中总有一个是成立的，所以这种“序结构是完全的”，任何两个元素都可以“比较大小”。而对于偏序集来说，这却是不一定的。我们定义的一种比较方法可能并不能对任何两个元素适用。比如我们可以把集合间的包含关系看作一种序结构，如果一个集合\(S \subseteq T\)，我们就说\(S \leq T\)。而对于两个有交集却不包含的集合，就无法比较大小。由此可见，偏序集比全序集更广泛，全序集是一种特殊的偏序集。
严格来说，一个偏序集是集合\(P\)和比较关系\(\leq\)组成的二元组\((P,\leq)\)。这个二元组是偏序集当且仅当满足三个性质：自反性（\(a \leq a\)），反对称性（\(a \leq b \ \and \ b \leq a \Rightarrow a=b\)），传递性（\(a \leq b \ \and \ b \leq c \Rightarrow a\leq c\)）。如果\(a \leq b\)且\(a \neq b\)，我们就说\(a < b\)。
在偏序集中，极值和最值是完全不同的概念。如果一个元素没有任何比它大的元素，它就是极大值；而一个元素要是最大值，它必须比其他所有元素都要大。后者一般是很难做到的，因为那样就要求这个最大元素要能和所有元素作比较。作比较这一做法在偏序集中本身就是不一定能完成的事。
我们可以用Hasse图来表示一个偏序集。Hasse图是一个DAG，两个元素\(a,b\)间有\(a\)到\(b\)的边当且仅当\(a<b\)，同时不存在任何元素\(c\)夹在他们中间使得\(a<c<b\)。
整数的整除关系\((\Z,|)\)也是一个偏序集。可以对他们验证上面三条性质。同时，刚才已经举例说明了\((2^U,\subseteq)\)是一个偏序集（\(2^U\)代表\(U\)的所有子集构成的集合）。我们能够发现，集合的包含关系是一种最一般的偏序关系（仅讨论有限的偏序集），任何一个偏序集我们都可以同构地构造一个子集关系——只需在Hasse图上把所有子节点元素都加入到父节点的元素集合上，这样父节点就一定包含子节点了。如果按照元素个数来给Hasse图分层，那么最底下的源点就是空集，最上面的汇点就是全集。
偏序集中的链
如果在偏序集中选出一个两两可比较的元素集合（全序集），那么这个集合一定能在Hasse图上被表示成一条链（或者几条，因为他们不一定是连续的，但它们一定能看成某条更长的链的一部分），我们称它为偏序集的一个链。
我们说一条链是极大的，当且仅当增添任何一个其他元素它都不再是链。而最大（最长）的链指的是拥有元素最多的链。偏序集的高度定义为最大链的长度（元素个数）。
我们还可以定义“反链”，它是任意两个元素都不能互相比较的一个元素集合。对于反链，我们也用同样的方法定义极大和最大。其中，最大反链的长度称为偏序集的宽度。
链划分
如果我们找到若干条互不相交的链，它们恰好覆盖了所有元素，那么就称这是一个“链划分”。同理，也可以定义反链划分。一个划分的大小就是这个划分包含的链的个数。
关于链划分和反链划分，有两个对偶的定理：
对于任何偏序集，最小反链划分的大小等于最长链的大小（高度）。设最长链大小为\(h\)，如果存在一个小于\(h\)的最小反链划分，那么最长链上至少有两个点属于同一个反链，而最长链上的任意两点都是可以比较大小的，因此矛盾。所以最小反链划分一定大于等于\(h\)。那么只需构造一个长度为\(h\)的反链划分。我们对\(h\)归纳。当\(h=1\)时，即当偏序集只有一个元素时，这个元素本身就构成了反链划分，显然成立。假设对于任何高度小于\(h\)的偏序集这个定理都已经成立，那么对于高度为\(h\)的偏序集，它有若干条长度为\(h\)的链。对于每个长度为\(h\)的链，我们取最顶端（Hasse图上）元素。所有这些被取出的元素之间一定两两不可比较，否则我们就能构造出一条长度为\(h+1\)的链，矛盾。因此这些元素构成了一条反链。把这些元素从原图上删掉之后，原图的高度一定小于\(h\)，否则就存在一条长度为\(h\)的链，添加上删掉的元素就会形成长度为\(h+1\)的链，矛盾。因此删点后的原图的最小反链划分为\(h-1\)，加上删掉的点构成的反链，我们就构造出了一个大小为\(h\)的反链划分。证毕。
对于任何偏序集，最小链划分的大小等于最长反链的大小（宽度）。