微分中值定理
罗尔定理
费马引理
\(f(x)\) 在 \(x_{0}\) \(U(x_{0})\) 有定义，在 \(x_{0}\) 处可导，如 \(f(x)\le f(x_{0})\)，所有的 \(x\in U(x_{0})\)。
则 \(f'(x_{0}) = 0\)。
导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。
罗尔定理
如果 \(f(x)\) 满足：
- 在 \([a, b]\) 连续。
- 在 \((a,b)\) 可导。
- \(f(a) = f(b)\)。
那么在区间 \((a,b)\) 上至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。
拉格朗日中值定理
- 在 \([a,b]\) 连续
- 在 \((a,b)\) 可导。
则在 \((a,b)\) 至少有一点 \(\xi\) 使得 \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)。
如果 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 内连续，并且在 \(I\) 内可导且导数恒为零，那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是一个常数。
柯西中值定理
若 \(f(x)\) 和 \(F(x)\) 满足：
- 在 \([a,b]\) 连续。
- 在 \((a,b)\) 可导。
- 任一 \(x\in(a,b),F'(x)\ne 0\)
那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\), 使等式：
\[\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
\]
成立。