第5章-常微分方程的数值解
基本思想：若微分方程有初始值 \(x_0, y_0\) ，则把微分方程转化为递推公式，从而递推出每个离散点的方程解
5.1 欧拉方法
已知：
\[\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dy}{dx} = f(x,y) \\
y(x_0) = y_0
\end{array}
\right.
\]
通过近似
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y_{n+1}-y_{n}}{h}
\]
从而
\[\begin{align}
\Rightarrow \quad & \frac{y_{n+1}-y_{n}}{h} = f(x_n, y_n)\nonumber \\
\Rightarrow \quad & y_{n+1} = y_{n} + hf(x_n, y_n)\nonumber \\
\end{align}
\]
此为显式欧拉法。
也可以将 \(f(x_n, y_n)\) 改为 \(f(x_{n+1}, y_{n+1})\)
\[\Rightarrow \quad \frac{y_{n+1}-y_{n}}{h} = f(x_{n+1}, y_{n+1})
\]
此为隐式欧拉法。
梯形公式
把显示欧拉法和隐式欧拉法加在一起平均一下就得到梯形公式
\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1},y_{n+1})]
\]
改进欧拉法（预测-校正法）
- 先用显式欧拉公式做预测，算出 \(\bar{y}_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\)
- 再将 \(\bar{y}_{n+1}\) 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1},\bar{y}_{n+1})]
\]
预测-校正法具有2阶精度，稳定性高于显示欧拉法
局部截断误差和方法的阶
初值问题的单步法可用一般形式表示为：
\[y_{n+1} = y_n + h\phi(x_n, y_n, y_{n+1}, h)
\]
\(\phi\)称为增量函数。
例如，对显式欧拉法有 \(\phi(x_n, y_n, h) = f(x_n, y_n)\)
局部阶段误差：
设 \(y(x)\) 是初值问题的准确解，称
\[T_{n+1} = y(x_{n+1}) - y(x_n) - h\phi(x_n, y_n, y_{n+1}, h)
\]
为显式单步法的局部截断误差。
精度：
若某算法的局部截断误差为 \(O(h^{p+1})\) ，则称该算法有p阶精度。
欧拉法的局部截断误差
\[\begin{align}
T_{n+1} & = y(x_{n+1}) -y_{n+1} \nonumber \\
& = [y(x_n) + hy'(x_n)+ \frac{h^2}{2}y''(x_n) + O(h^3)] - [y_n + hf(x_n, y_n)] \nonumber \\
& = \frac{h^2}{2}y''(x_n)+O(h^3) \nonumber
\end{align}
\]
具有1阶精度。