⚡ 线性映射 发生在同一个坐标系->线性变换
数域F上线性空间V中的变换T若满足条件:
T(a+b)=Ta+Tb(a,b∈V)
T(ka)=kTa(k∈F,a∈V)
向量
?️ 是什么
不依赖坐标系的既有大小又有方向的量 射出去的箭
?️ 几何意义
与点的关系 表示两点的距离 全部移动到原点...
向量加法 平行四边形
向量减法 ...
向量点乘 判断同向反向
向量叉乘 力螺旋 有向面积
与微积分的关系 微元就是向量
矩阵
?️ 是什么
一个数表
是线性函数系数, 是"比例函数的推广"
- 非奇异矩阵 行列式!=0
?️ 几何意义
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把一个向量转换为另一个向量 类比比例函数的k 这里的
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矩阵加法 多个向量相加
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矩阵乘单位向量 把单位向量缩放旋转
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矩阵乘向量-> 矩阵乘单位向量相加 三个向量张成的三维空间
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矩阵乘矩阵 把矩阵分块 ->移动多个向量
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线性变换 镜像 切变 旋转
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矩阵的秩(行秩 = 列秩 = 秩)
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如果一个3阶矩阵对于球面的变换
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r = 3 椭球
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r = 2 椭圆
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r = 1 线段
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特征值和特征向量
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Aα = λα λ就是特征值
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一个矩阵对某个向量只伸缩, 不旋转; ? 特征值只不过是反应在这个方向伸缩的倍数而已
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用特征多项式求|A - λE| = 0
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可逆->分解为初等矩阵相乘
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切变
- 单位矩阵, 其他地方加一个k
?️ 对称 实对称矩阵
对称矩阵B点的特征向量刚好是在其图形的主轴上
实对称矩阵, 不同特征空间的任意两个特征向量是正交的
?️ 矩阵相似
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定义: 可逆方阵P A = PBP(-1)
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A到B的过程叫做矩阵的相似变换(猪的不同角度的照片)
- 也就是说相似矩阵A和B是同一个线性变换再两个不同基下的表示矩阵!!!
- 基可以理解为坐标系
?️ 相似对角化
把个矩阵相似变换到另一个比较简洁的矩阵上去研究这个线性变换
一个矩阵变换一个向量
如果这个矩阵是一个对角矩阵就好了
Ad->^d
?️ 矩阵行列式
超平行多面体的 有向面积/体积
伸缩因子
?️ 矩阵等价相似合同
?️ 逆矩阵
撤销原变换
?️ 转置矩阵
定义: 行变列
?️ 伴随矩阵
定义: A* A = |A|E
逆矩阵和伴随矩阵只差个常数
?️ 正交矩阵
正交: 内积 = 0