一、定义
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二阶常系数线性齐次微分方程：
\[y^{''}(x)+py^{'}(x)+qy(x)=0
\]
二阶常系数线性非齐次微分方程：
\[y^{''}(x)+py^{'}(x)+qy(x)=g(x)
\]
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：
\[y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^*(x)
\]
二、齐次通解
特征方程为
\[r^2+pr+q=0
\]
根据特征方程的根\(r_1,r_2\)的情况，设通解为
\[y_0(x)=
\begin{cases}
C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}, & r_1 \neq r_2 \\
(C_1+C_2x)e^{r_1x}, & r_1 = r_2 \\
e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)], & r = \alpha \pm \mathrm{i} \beta
\end{cases}
\]
三、非齐次特解
1. α不是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(A\) |
| \(ax+b\) | \(Ax+B\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(Ax^2+Bx+C\) |
| \(ae^{\alpha x}\) | \(Ae^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \((Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \((Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
2. α是特征单重根
（1）\(\alpha \neq 0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(ae^{\alpha x}\) | \(xAe^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \(x(Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \(x(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
（2）\(\alpha=0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(xA\) |
| \(ax+b\) | \(x(Ax+B)\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(x(Ax^2+Bx+C)\) |
3. α是特征二重根
（1）\(\alpha \neq 0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(ae^{\alpha x}\) | \(x^2Ae^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \(x^2(Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \(x^2(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
（2）\(\alpha=0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(x^2A\) |
| \(ax+b\) | \(x^2(Ax+B)\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(x^2(Ax^2+Bx+C)\) |
4. α±iβ不是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]\) |
5. α±iβ是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]\) |