why sin/cos

要理解 GCN 那一套傅里叶的逻辑，第一个问题是，为什么傅里叶变化选择了三角函数，或者说 sin/cos？

或许有人会说，sin/cos 正交嘛，那为什么正交，是巧合吗？

我认为可以类推到 \(\nabla^2\) 这个变换中，所谓亥姆霍兹方程：

\[\nabla^2 f = -k^2 f \]

sin/cos 就是答案之一，而如果把这个方程理解为 \(Ax = \lambda x\)，A 是实对称矩阵，那么特征向量本身就是正交的。

总而言之，这样类比很巧，我也不知道为什么这么巧。

那么傅里叶分解就可以立即为输入函数 \(f\)，分解到 \(\nabla^2\) 的基上。

input & output

第二个问题就是弄清楚图的变换的输入和输出是什么，
说到底，无权重图的结构就是一个邻接矩阵罢了，图上节点的值，如果考虑每一个节点就是一个标量，那么整个图的节点的值就是一个向量。

假设每个节点的值就是一个标量，这样不把节点的值考虑成向量的好处是，向量无非是多个「通道」，就像 RGB 通道一样。

图可以抽象为一个矩阵（邻接矩阵、度矩阵 whatever），query 图节点的值抽象为一个函数，这个函数的参数是节点，输出是节点的值，也就是一个标量，那么图可以表示为如下二元组：

\(<L, f>, f \in \{f: v \rightarrow \mathbb{R} \}\)

无向结构写成矩阵的形式会强行加上一个 index。如何理解，因为写邻接矩阵的时候，已经给图中的节点编号了，比如矩阵第一列第二行表示第一个节点和第二个节点之间是否有边。所以 \(f\) 本身也可以写成一个向量，\(f[i]\) 就是取第 i 个节点的值。

node<index>(<value>)

node1(3) -- node2(5)
|
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node3(8)

那么 \(f\) 就是 \([3, 5, 8]\)。

至于为什么选择 \(L\)，文章^[1]说是考虑变换为「扰动」，\(f[i]-f[j]\)。

第三个问题是理解类比：

把傅里叶变换理解为

函数在 \(\nabla^2\) 基上的变换，那么频域变换就可以理解为

\(f\) 在 \(L\) 基上的变换。

所以我们去求 \(L\) 的特征值 \(u_i\)，让 \(f\) 和 \(u_i\) 做内积，得到变换后的结果。

我认为这不是变换的重点，直接参考文章^[1:1]