微分中值定理

罗尔定理

观察下图设曲线 \(AB\) 是函数 \(y=f(x) (x \in [a,b])\) 的图形.

图中两端点的纵坐标相等，即 \(f(a) = f(b)\) 可以发现在曲弧线的最高点 \(C\) 处或最低点 \(D\) 处，曲线有水平的切线.

记 \(C\) 点的横坐标为 \(\xi\) 那么就有 \(f'(\xi) = 0\).

那么可以由此得到：罗尔定理
如果函数 \(f(x)\) 满足

在闭区间 \([a,b]\) 上连续

在开区间 \([a,b]\) 上可导

\(f(a) = f(b)\)

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi (a < \xi < b)\) , 使得 \(f'(\xi) = 0\).