希尔伯特纲领
综述
根据数学家希尔伯特的描述，一个仅仅由不证自明的公理和符号推导过程构建的数学大厦应包含某些性质，以下是其中两条：
完备性
希尔伯特认为，所有数学命题都可以用一组有限的公理证明或证否。
一致性
希尔伯特认为，已经证明的所有数学命题构成的体系不能产生矛盾。
可判定性
希尔伯特认为，存在一个算法可以判定任意一个命题是否能够从公里出发证明。
希尔伯特纲领的应用
利用希尔伯特纲领，我们确实可以推导出很多命题，例如，根据算术基本公理（皮亚诺公理）：
- 0是自然数
- 每一个自然数，它的后继一定也是自然数
- 对于每一个自然数m、n，m=n当且仅当m的后继=n的后继
- 0不是任何自然数的后继
- 任何关于自然数的命题如果证明：它对0为真，且假定对自然数n为真时，它对n的后继也为真，则可证明该命题对所有自然数为真。
经过50多步的简单推导就可以证明命题 $1+1=2 $ 证明过程
哥德尔
1930年，当时年仅24岁的天才数学家哥德尔在一次会议上庄重的向大家宣布：
“希尔伯特关于数学完备性的理想，我已经解决了！”
“这么好啊！怎么解决的？”
“我证明了数学具有不完备性。”
哥德尔第一不完备性定理
这个定理形象点说就是 “必然存在某些定理无法由公理推出。”，推翻了第一条完备性。