[学习笔记] 高中必修一 : 函数-526互联

前言：笔者在初二暑假学了一下高一函数，简单整理，如有错误请私信提出qwq

Last UPD:2023/8/17 更新了函数零点及部分例题

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定义

通俗理解就是两个集合\(A,B\),还有一个对应关系记作\(f\)，如果集合\(A\)中的每一个实数，在集合\(B\)中有唯一的一个实数与之对应，则\(f\)定义在集合\(A\)上的一个函数，记作\(y=f(x)\)
上述函数中，自变量：\(x\)，因变量:\(y\)

定义域：指自变量的取值范围
值域：指因变量的取值范围，也就是函数值的取值范围。

其中，定义域，对应关系，值域被成为函数的三要素，函数还应具有任意性，存在性，唯一性。对于集合A中任何的一个元素\(x\)，在集合B中都有唯一确定的\(y\)与之对应。我们这里强调在集合\(A\)中，在集合\(B\)中，也就是强调了定义域，值域。不能忽略函数三要素。

题型：求函数的定义域。

同一个函数：

定义域相同
对应关系相同

具体判断卡定义即可。

典例1

已知\(f(x)\)的定义域为\((1,2)\)，则\(f(2x-1)\)的定义域是？

考察：\(f\)是对应关系，两个函数的对应关系都是\(f\)，也就是对应关系相同。

Solution

首先，我们注意到这两个函数的对应关系都是\(f\)，那么举个例子:\(f(x)\)和\(f(t)\)的值虽然不同，但是计算方式是不是相同的？定义域是不是也应当相同？显然\(y=f(x)\)和\(y=f(t)\)是同一个函数。

由此，我们推断，如果我们把\(2x-1\)看作一个整体，记作\(2x-1=t\)，那么\(f(t)\)的定义域也应当是\((1,2)\)，也就是\(1 \leq2x-1 \leq 2\)，继续卡定义，定义域指的是函数中自变量的取值范围，接下来解出\(x\)的取值范围即可。

延伸1

已知\(f(x+3)\)的定义域为\([-2,4]\)，求\(f(2x+3)\)的定义域。

Solution

若记\((x+3)=t\)，则\(f(t)\)的定义域为\([1,7]\)。由定义可知\(f(2x+3)\)的定义域为在该函数中\(x\)的取值范围。和上题同理\(1<2x+3<7\),解出\(x\)即可。

关键：找出她们的对应关系相同，若看作整体则定义域都相同，先求出整体的定义域然后解不等式即可。

延伸2

定义\(\phi(x)=f(x+1)+f(x-2)\)，若\(f(x)\)的定义域为\([-3,5]\)，求\(\phi(x)\)的定义域。

Solution

~~我当然知道\(\phi\)是欧拉函数~~

直接卡定义，\(\phi(x)\)的定义域是指在该函数中\(x\)的取值范围。然后和前面同理。具体地：

\(-3\leq x+1\leq 5\)

\(-3 \leq x-2 \leq 5\)

诶这是一个不等式组！显然\(\phi(x)\)一定要满足这两条不等式，求这俩不等式的交集即可。

复合函数

先给出例子：\(y=f(g(x))\)

具体地，若定义函数\(f(x)\)的定义域为\(C\),函数\(g(x)\)的值域为\(A\)，当且仅当\(C \subseteq A\)时，称作\(y=(f(g(x)+x))\)为\(f\)与\(g\)在\(x\)上的复合函数。

注意：内层函数的值域是外层函数定义域的子集，我们用的是真包含于，复合函数的值域是由外层函数的定义域和内层函数的值域共同决定的，而不是只有一方影响。

Attention:复合函数\(y=f(g(x))\)的定义域是\(x\)的取值范围，而不是\(g(x)\)的取值范围。

求函数定义域需要注意\(x\)的取值范围，例如\(\sqrt x (x \geq 0)\) 也就是确保函数有意义。

例题：求解函数值域

已知函数定义域：直接代入求。
出现类似于\(\sqrt x\) ，应用换元法。

例题：求\(y=2x-\sqrt {x-1}\)的值域。

我们可以令\(\sqrt {x-1}=t\)，则\(x=t^2+1\) ，且因为根号所以\(t \geq 0\)。

所以\(y=2(t^2+1)-t=2(t-\frac{1}{4}) ^2 + \frac{15}{8}\) (配方)

显然当\(t-\frac{1}{4} = 0\)时\(y\)最小，通过画图or人类智慧可以发现最大到正无穷，所以函数值域为\([\frac{15}{8},+\infty)\)

分离常数法

求函数解析式

待定系数法

给定的函数形式是啥就设啥。

例题：已知\(f(f(x))=3x+2\) ，求\(f(x)\)的解析式。

直接设\(f(x)=ax+b\)，则\(f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2 x+ab+b=3x+2\)

所以\(a^2=3,ab+b=2\)，解出\(a,b\)，然后带入原式即可。注意平方分类讨论。

那如果复合函数内层和外层不是一种关系呢？例如已知\(f(\sqrt x+1)=x+2\sqrt x\)，求\(f(x)\)的解析式。

我们可以整体换元，令\(\sqrt x+1 = t(t \geq 1),x=(t-1)^2\),所以原式就变成：

\(f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1\)
和前面同理，同样的关系\(f\)下\(f(t)\)可以和\(f(x)\)互相转换，把\(t\)换成\(x\)即可。

函数的单调性

定义

一般地，设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，且\(I\subseteq D\),如果对于任意的\(x_1,x_2\in I\),当\(x_1 < x_2\)时，都有：\(f(x_1) < f(x_2)\)或者\(f(x_1) > f(x_2)\)，则称\(y=f(x)\)在\(I\)上单调递增or单调递减。

当然以上是最严谨的定义，通俗来讲，函数在一段区间内\(y\)随\(x\)的增大而增大or减小，函数在这一段区间内就满足单调性。在讨论函数单调性的时候不能忽略在一段区间内

特别地，上述\(x_1,x_2\)必须满足如下性质：

同区间性
任意性，也就是不能用特殊值来代替\(x_1,x_2\)
有序性，即\(x_1 < x_2\)或者\(x_1 > x_2\)，通常令\(x_1 < x_2\)

函数的最值

最大值：设\(f(x)\)的定义域为\(D\)，且\(x_0 \in D\),如果\(f(\forall x \in D )\leq f(x_0)\)，则\(f(x)\)的最大值为\(x_0\)。几何意义显然就是函数图像上最高点的纵坐标。

最小值同理，这里不再列举。

需要注意函数的值域一定存在，但是函数的最值不一定存在，例如对于直线\(y=4\)就没有最值。函数的最值也一定是值域中的元素。这点显然。那么同理若函数的值域是开区间，则没有最值。（两端点都取不到）若函数的值域是闭区间（两端点都能取到的时候），则函数的两个最值是两个区间端点。显然。

直线斜率

几何意义：一条直线相对于\(x\)轴的倾斜程度。

定义：对于平面直角坐标系上的任意两点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，当\(x_1 \ne x_2\)时，称\(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)为直线\(AB\)的斜率；同理，当\(x_1=x_2\)时，称直线\(AB\)的斜率不存在。因为此时直线\(AB\)就变成平行于\(y\)轴，垂直于\(x\)轴的直线。

简单性质：任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。

证明：由函数的性质可知，函数图像上的任意两点的\(x\)坐标一定不相同。

平均变化率

当\(x_1 \ne x_2\)时，\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)为函数\(y=f(x)\)在区间\([x_1,x_2](x_1<x_2)\)时或\([x_2,x_1](x_1 > x_2)\)时上的平均变化率。

由上述式子可以推出\(\Delta x = x_2-x_1 \ne 0\)，但是可正可负。

平均变化率为0的时候不能推断函数在此区间上的函数值都相等。

几何意义：在函数\(y=f(x)\)图像上两点\(A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))\)连线的斜率。

平均变化率与单调性的关系：

当\(\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0\)是增函数，反之是减函数。（在实数范围内）

单调函数可以运算，性质如下（我们定义\(f(x)\)在区间\(I\)上具有单调性）

\(f(x)+C\)和原函数具有相同的单调性（\(C\)为常数）
\(f(x)\times a(a>0)\)与原函数在相同区间上具有相同的单调性，反之若\(a<0\)则具有相反的单调性
若\(f(x)\)的函数值恒为正或恒为负，则\(\frac{a}{f(x)}(a>0)\)与原函数具有相反的单调性，反之\(a>0\)与原函数具有相同的单调性
\(\sqrt{f(x)}(f(x)\geq 0)\)与原函数具有相同的单调性

（虽然内容很多，但是可以类比正负数加减法理解记忆）

当\(f(x),g(x)\)满足相同的单调性，则\(f(x)\times g(x)\)，若两者的函数值均>0，则是增函数，否则是减函数。

复合函数的单调性，简记为：同增异减，这里讨论的分别是\(f(x),g(x),f(g(x))\)

例题讨论函数的单调性或求单调区间

求函数\(f(x)=\frac{x+a}{x+b}(a>b>0)\)的单调区间。

思路：首先求函数的值域，因为单调区间一定在值域范围内，然后根据函数单调性的定义任取两点进行讨论。

Solution

首先，显然函数的定义域是\((-\infty,-b)\cup (-b,+\infty)\) （显然\(x \ne -b\)）

显然函数的单调区间一定在值域范围内，而值域范围是两个区间的并集，我们分类讨论分别求解。

任取两点\(x_1,x_2\)，令\(x_1 < x_2\)，则：

\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1+a}{x_1+b}-\frac{x_2+a}{x_2+b}(x_1 < x_2,a>b>0)=\frac{(a-b)(x_2-x_1)}{(x_1+b)(x_2+b)}\)

∵\(a>b>0,x_2>x_1>-b\)
∴\(a_b>0,x_2-x_1>0,x_1+b>0\)
∴原式>0

所以我们得知当\(x_1<x_2\)时，\(f(x_1)>f(x_2)\),所以函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,-b)\)中单调递减。

同理，函数在\((-b,+\infty)\)区间内单调递减。

综上所述，函数\(f(x)\)的单调递减区间是\((-b,+\infty)\)和\(f(x_1)>f(x_2)\)，无单调递增区间。

以上，我们就可以总结一下求函数单调区间的方法：

首先我们需要求出函数值域，因为单调区间一定是在值域范围内的。

其次我们根据单调函数的定义，任意取两个点\(x_1,x_2\)，前面提到一般令\(x_1<x_2\)，看\(f(x_1)\)和\(f(x_2)\)的关系。（一般使用作差法）
此类题目相对简单。

例题2：利用函数的单调性求最值

求\(y=x+\sqrt{1-x}+3\)的最大值

首先求出定义域，其次整体换元，令\(t=\sqrt{1-x}(t \geq 0)\),然后通过配方（将原式子变成常数+平方的形式以定最值），最后求解。具体步骤见P148

函数的奇偶性

前提：设\(f(x)\)的定义域为\(D\),如果对\(D\)内的任何一个值\(x\),都有\(-x \in D\)。

定义：若满足\(f(-x)=f(x)\)，则称\(y=f(x)\)是偶函数；若满足\(f(-x)=-f(x)\)，则称\(y=f(x)\)为奇函数

特点：定义域关于原点对称。即\(\forall x \in D,-x \in D\)（此特点也可以作为判断奇偶函数的一个依据）

它们的等价形式分别是\(f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0\)

依据奇偶函数的特点我们可以判断一个函数是奇函数还是偶函数还是什么都不是。我们只需要求出函数的定义域并且看它是否关于原点对称即可。

例1：\(f(x)=\frac{x^3-x^2}{x-1}\)

容易判断该函数的定义域为 \({x | x\ne 1}\)，显然不关于原点对称，故什么也不是。

例2：\(f(x)=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{1-x^2}\)

定义域：\({-1,1}\) 。显然关于原点对称。我们还发现 \(f(-1)=f(1)=0\)，容易发现它既是奇函数也是偶函数。

通过上述例子可以发现，判断一个函数是奇函数还是偶函数，我们只需要求出定义域然后看是否满足特殊值即可。

例3： \(f(x)=x^2+\frac{a}{x}(x\ne 0,a \in R)\)

出现了一个未知常数 \(a\)，我们需要分类讨论。

当 \(a=0\) 时，\(f(x)=x^2\)，显然它可以取任意实数。对于任意实数满足 \(f(x)=f(-x)=x^2\)。而不满足 \(f(x)=-f(x)\)。所以当 \(a=0\) 时，它是偶函数。
当 \(a \ne 0\) 时，\(f(x)=x^2+\frac{a}{x}(x\ne 0,a \in R)\)，显然值域为 \({x | x \ne 0}\)。我们来取特殊值：当 \(x=1\) 时，\(f(x)=1+a\)；当 \(x=-1\) 时， \(f(x)=1-a\)。显然它既不满足奇函数也不满足偶函数。所以它什么也不是。

通过这个例子可以发现，当出现未知实数时，我们需要对未知实数进行分类讨论求解。我们可以在值域范围内设特殊值，也就是关于原点对称两个点。看是否满足奇函数or偶函数。

我们可以总结一下判断函数奇偶性的方法：

定义法：即像上述例子一样根据奇偶函数定义，一般设关于原点对称的两个点代入判断是否符合定义求解。
图像法：当一个函数图像比较容易画的时候可以使用。
验证法：和定义法类似代入两个关于原点对称的点验证是否符合定义。也是比较常用的方法。
性质法：充分利用性质

函数奇偶性的判断

常规思路：先判断定义域是否关于原点对称，再紧扣定义进行判断。

例题：设函数 \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) ，判断 \(f(x-1)-1\) 是什么函数。

首先将所需判断的函数代入 \(f(x)\) 变成代数式形式: \(f(x-1)=\frac{1-(x-1)}{1+(x-1)}=\frac{2-x}{x}\)。

那么显然 \(f(x-1)-1=\frac{2-x}{x}-1=\frac{2-2x}{x}\)。我们现在已经求出了所求函数的表达式，它的定义域：\({x|x\ne 0}\)。定义域关于原点对称。接下来代入特殊值：\(f(1)=0,f(-1)=-4,-f(1)=0\)。既不满足奇函数，也不满足偶函数。所以它什么也不是。

综上所述：函数 \(f(x-1)-1\) 既不是奇函数，也不是偶函数。

通过上述示例，我们发现，判断函数奇偶性我们需要先求出值域，把函数转换成一般代数式形式，然后代入特殊值求解。

函数零点

如果函数 \(y=f(x)\) 在实数 \(a\) 处的函数值等于零，即 \(f(a)=0\) ，则称 \(a\) 为函数 \(y=f(x)\) 的零点。具体一点就是满足函数值为 \(0\) 的值。

注意，函数的零点是一个实数，而不是一个点。例如函数 \(f(x)=x+1\) 的零点是 \(-1\) ，而不是 \((-1,0)\)。

并不是所有的函数都有零点，例如函数 \(y=x^2+1\)

若函数有零点，则它的零点一定在定义域范围内，显然。

意义

显然，\(a\) 是函数 \(f(x)\) 的零点的充要条件是点 \((a,0)\) 是函数图像与 \(x\) 轴的公共点，也可以说交点。显然通过观察函数图像我们可以看出函数值为 \(0\) 的方程解集，也就是函数零点。也可以比较相对大小。

因此，我们可以通过图像法（也就是画出一元二次方程所对应函数的图像），观察图像来解决一元二次不等式。这与一次函数类似。

函数零点存在定理

如果函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的图像是 连续不断的，且 \(f(a)f(b) < 0\)（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 中至少有一个零点，即 \(\exists x_0 \in (a,b),f(x_0) = 0\) 。

函数零点存在定理有几个特殊情况，如下。

显然依据函数零点存在定理只能判断零点是否存在，并不能确定零点的个数。
若已知 \(y=f(x)\) 是一条连续不断的曲线，则由函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内存在零点并不能推出 \(f(a)f(b) < 0\)。需要注意。
如果单调函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的图像是一条连续不断的曲线，并且满足 \(f(a)f(b) < 0\) ，则该函数在区间 \([a,b]\) 上有唯一的零点。这很显然。