掌握带有不同余项的泰勒公式，并能运用泰勒公式求极限（例4）和进行近似计算（例6、7）。牢记几种常见函数的麦克劳林展开式（例1）。
重点习题：第2、3题。
布鲁克·泰勒（英语：Brook Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，逝世于伦敦，是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。 他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士，1714年法学博士学位。他也学习数学。1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。因此导致约翰·伯努利与他争谁首先得到解法的问题。他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。他是第一个把成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。直到1772年约瑟夫·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理，当x=0时被称作麦克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1712年泰勒被选入皇家学会，同年他加入判决艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨就微积分发明权的案子的委员会。从1714年1月13日至1718年10月21日他任皇家学会的秘书。从1715年开始他的研究开始转向哲学和宗教。1719年他从亚琛回到英国后写的《关于犹太教牺牲》和《食血是否合法》未完成，后来在他的遗物中被发现。1721年他结婚，但是他父亲不赞成这个婚姻，两人因此不和。直到1723年他妻子死后他才又和父亲和解。此后两年中他住在家里。1725年他再次结婚，他的第二任妻子也在生产时逝世（1730年），但是这次孩子，一个女孩儿，存活下来了。泰勒的身体状况越来越坏，不久也逝世。虽然泰勒是一名非常杰出的数学家，但是由于不喜欢明确和完整地把他的思路写下来，因此他的许多证明没有遗留下来。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念， 这对摄影测量制图学之发展有一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
佩亚诺(Peano, Giuseppe, 1858--1932)意大利数学家。生于斯皮内塔(Spinetta )，卒于都灵。
早年他在都灵大学学习。1895年任都灵大学教授。他是多个学术机构的成员。1908年当选为世界语研究所所长。
佩亚诺对20世纪数学的发展有重要贡献，其著作《算术原理新方法》完成了对自然数的公理化处理，提出了自然数五大公理，即佩亚诺公理，然后定义各种运算，逐步扩展数系，依次定义整数、有理数、无理数等。为了使推理方便有力，曾引进了大量的数学符号,对符号逻辑的发展有较大影响。他还为欧氏几何建立过公设体系。在分析方面，佩亚诺介绍了较进步的容度概念，使容度理论的限度得到突破，并将面积概念严密化，给出充满空间的曲线等反例。此外，他在维数理论的研究中亦有贡献。
1903年皮亚诺跨出数学领域致力于发明一种国际语（至少可以在讲西欧语言的人中使用），他采取的语言形式可以说是一种混和语，它把拉丁语的词干（而不变格变位）加到德语或英语的字当中去，只要看起来可行。结果就是“国际语”，它对于讲拉丁语系语言的人没有什么困难，对于讲条顿语系语言的人即使它们不完全熟悉拉丁语系的语言太困难。有的科学杂志现在采取一项措施，即发表文章的摘要用国际语，以便通过最少的翻译使尽可能多的人都能看到。
他作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。1891年皮亚诺创建了《数学杂志》，并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺的《数学公式汇编》共有5卷，1895－1908年出版，仅第五卷就含有4200条公式和定理，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无穷的数学矿藏”。皮亚诺引入并推广了“测度”的概念。皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。1883年他给出了定积分的一个新定义，将黎曼和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所做的努力。1886年他率先证出一阶微分方程y'=f（x，y）可解的唯一条件是f的连续性，并给出了稍欠严格的证明。1893年，皮亚诺发表了《无穷小分析教程》，被德国的数学百科全书列在“自欧拉和柯西时代以来最重要的19本微积分教科书”之中。皮亚诺撰写的《数学百科全书》有很多引人注目的地方。例如对微分中值定理的推广；多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；多变元函数泰勒展开的条件；当时流行的极小理论的反例等。
科林 麦克劳林（Colin Maclaurin） 是苏格兰数学家，1698年2月生于苏格兰的基尔莫登，1746年1月14日卒于爱丁堡。麦克劳林是18世纪英国最具有影响的数学家之一。
麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位牧师。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。17岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学系工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回国后任爱丁堡大学教授。
1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。
他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家克莱默Cramer又重新发现了这个法则，所以现今称之为Cramer法则。
麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而且关心政治，1745年参加了爱丁堡保卫战。
麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打算写一本《关于伊萨克.牛顿爵士的发现说明》，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”几个大字，以表达他对牛顿的感激之情。
麦克劳林级数(Maclaurin series)函数在=0处的泰勒级数。它是麦克劳林于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件.他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。