线性空间和线性方程组

判断题/常识

[白皮例3.7] 若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关, $\beta$ 是另一个向量, 问 $\alpha_1+\beta,\alpha_2+\beta$ 是否必线性无关.
注：取 $\beta=-\frac{1}{2}(\alpha_1+\alpha_2)$.

[白皮例3.12] 设 $A$ 是 $n\times m$ 矩阵, $B$ 是 $m\times n$ 矩阵, 且 $AB=I_n$, 则 $B$ 的 $n$ 个列向量线性无关.
注：事实上, 有条件可得 $A$ 是行满秩矩阵, $B$ 是列满秩矩阵, 或者说 $r(A)=r(B)=n$.

[白皮例3.21] 两个向量组 $A=\{\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m\}$ 和 $B=\{\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_n\}$ 等价当且仅当它们的秩相等且其中一组向量能用另外一组向量线性表示.
注：两个向量组等价就是它们能够互相表示. 设 $B$ 能被 $A$ 表示, 则只需验证 $A$ 也能被 $B$ 表示, 而这需要用到彼此的极大无关组, 这两组极大无关组中向量个数均相等且两组极大无关组的并的秩也与原来一样.

[白皮例3.22] 若两个数域 $\mathbb{K}_1\subseteq \mathbb{K}_2$, 则 $\mathbb{K}_2$ 可以看成是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间, 向量就是 $\mathbb{K}_2$ 上的数, 向量的加法就是数的加法, 数乘就是 $\mathbb{K}_1$ 上的数乘以 $\mathbb{K}_2$ 中的数. 特别地, 数域 $\mathbb{K}$ 也可以看成是 $\mathbb{K}$ 自身上的线性空间.

[白皮例3.29] 数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶对称阵全体组成的线性空间的一组基为 $\{E_{ii}(1\le i\le n); \ E_{ij}+E_{ji}(1\le i<j\le n)\}$, 因此维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$.
注：这不难想象.

[白皮例3.29] 数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶反对称阵全体组成的线性空间的一组基为 $\{E_{ij}-E_{ji}(1\le i<j\le n)\}$, 因此维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$.
注：要注意反对称阵主对角元全为零.

[白皮例3.30] $n$ 阶 Hermite 矩阵全体组成的线性空间 $V_1=\{A\in M_n(\mathbb{C})|\overline{A}'=A\}$ 的一组基为 $\{E_{ii}(1\le i\le n); \ E_{ij}+E_{ji}(1\le i<j\le n); \ iE_{ij}-jE_{ji}(1\le i<j\le n)\}$, 且维数为 $n^2$; $n$ 阶斜 Hermite 矩阵全体组成的线性空间 $V_2=\{A\in M_n(\mathbb{C})|\overline{A}'=-A\}$ 的一组基为 $\{iE_{ii}; \ E_{ij}-E_{ji}(1\le i<j\le n); \ iE_{ij}+iE_{ji}(1\le i<j\le n)\}$, 因此维数为 $n^2$.
注：这与对称阵、反对称阵类似, 无非是在从对称变成了共轭对称, 事实上, 对称阵和反对称阵是 Hermite 阵和斜 Hermite 阵的特例.

[白皮例3.32] 设 $\mathbb{K}_1,\mathbb{K}_2,\mathbb{K}_3$ 是数域且 $\mathbb{K}_1\subseteq\mathbb{K}_2\subseteq\mathbb{K}_3$. 若将 $\mathbb{K}_2$ 看成是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间, 其维数为 $m$, 又将 $\mathbb{K}_3$ 看成是 $\mathbb{K}_2$ 上的线性空间, 其维数为 $n$, 求证: 将 $\mathbb{K}_3$ 看成是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间, 则其维数是 $mn$.
注：事实上，设 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}$ 是 ${\mathbb{K}_2}_{\mathbb{K}_1}$ 的一组基, $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m\}$ 是 ${\mathbb{K}_3}_{\mathbb{K}_2}$ 的一组基, 则 $\{\alpha_i\beta_j \ (1\le i\le m,1\le j\le n)\}$ 是 ${\mathbb{K}_3}_{\mathbb{K}_1}$ 的一组基.

[白皮例3.91] 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵.
(1) 若 $r(A)=n$, 即 $A$ 是列满秩矩阵, 则必存在秩为 $n$ 的 $n\times m$ 矩阵 $B$ 使得 $BA=I_n$ (这样的矩阵 $B$ 称为 $A$ 的左逆);
(2) 若 $r(A)=m$, 即 $A$ 是行满秩矩阵, 则必存在秩为 $m$ 的 $n\times m$ 矩阵 $C$ 使得 $AC=I_m$ (这样的矩阵 $C$ 称为 $A$ 的右逆).
注：利用矩阵的相抵标准型不难证明.

[白皮例3.110] 平面上 $n$ 个点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$ 位于同一条直线的充要条件是 $r\begin{pmatrix}x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_n-x_1\\y_2-y_1 & y_3-y_1 & \cdots & y_n-y_1\end{pmatrix}\le1$ 或 $r\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n\\1& 1&1&\cdots&1\end{pmatrix}\le2$.
注：这 $n$ 个点共线代表着 $(x_i-x_1,y_i-y_1) \ (i=2,3,\cdots,n)$ 都成比例.

[白皮例3.111] 三维空间中的四个点 $(x_i,y_i,z_i) \ (1\le i\le4)$ 共面的充要条件是 $r\begin{pmatrix}x_2-x_1 & x_3-x_1 & x_4-x_1\\y_2-y_1 & y_3-y_1 & y_4-y_1\\z_2-z_1 & z_3-z_1 & z_4-z_1\end{pmatrix}\le2$ 或 $r\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\y_1 & y_2 & y_3 & y_4\\z_1 & z_2 & z_3 & z_4\\1& 1&1&1\end{pmatrix}\le3$.
注：这四个点共面代表着向量组 $\alpha_2-\alpha_1,\alpha_3-\alpha_1,\alpha_4-\alpha_1$ 的秩不超过 $2$.

[白皮例3.112] 通过平面上不在一条直线上的三个点 $(x_i,y_i) \ (1\le i\le 3)$ 的圆方程为
$\begin{vmatrix}x^2+y^2&x&y&1\\x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0$.
注：利用线性方程组理论.

证明题、计算题

[白皮例3.14] 设 $V$ 是实数域上连续函数全体构成的实线性空间, 求证下列函数线性无关:

\[1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots,\sin nx,\cos nx. \]

注：设 $f(x)=a+b_1\sin x+c_1\cos x+\cdots+b_n\sin nx+c_n\cos nx=0, \ a,b_i,c_i\in\mathbb{R}$. 依次设 $g(x)=1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots,\sin nx,\cos nx$. 并分别计算定积分 $\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\mathrm{~d}x$, 可得 $a=b_1=c_1=\cdots=b_n=c_n=0$, 因此函数列线性无关. 事实上, 这是三角函数列 (三角函数系).

[白皮例3.15] 设向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_r$ 线性无关,又

\[\begin{cases} \boldsymbol\beta_1=a_{11}\boldsymbol\alpha_1+a_{12}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{1r}\boldsymbol\alpha_r,\\ \boldsymbol\beta_2=a_{21}\boldsymbol\alpha_1+a_{22}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{2r}\boldsymbol\alpha_r,\\ \quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \boldsymbol\beta_r=a_{r1}\boldsymbol\alpha_1+a_{r2}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{rr}\boldsymbol\alpha_r.\end{cases} \]

求证: $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_r$ 线性相关当且仅当系数矩阵 $\boldsymbol A=(a_{ij})$ 的行列式为零.
注：$\begin{pmatrix}\boldsymbol\beta_1\\\boldsymbol\beta_2\\\vdots\\\boldsymbol\beta_r\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\boldsymbol\alpha_1\\\boldsymbol\alpha_2\\\vdots\\\boldsymbol\alpha_r\end{pmatrix}$. 事实上，这个结论可以推广为:

[白皮例3.18] 设 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m$ 是一组线性无关的向量, 向量组 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_k$ 可用 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m$ 线性表示如下:

\[\begin{cases} \boldsymbol\beta_1=a_{11}\boldsymbol\alpha_1+a_{12}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{1m}\boldsymbol\alpha_m,\\ \boldsymbol\beta_2=a_{21}\boldsymbol\alpha_1+a_{22}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{2m}\boldsymbol\alpha_m,\\ \quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \boldsymbol\beta_k=a_{k1}\boldsymbol\alpha_1+a_{k2}\boldsymbol\alpha_2+\cdots+a_{km}\boldsymbol\alpha_m.\end{cases} \]

记表示矩阵 $\boldsymbol A=(a_{ij})_{k\times m}$, 求证: 向量组 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_k$ 的秩等于 r$(A)$.

[白皮例3.20] 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是向量空间 V 中一组向量且其秩等于 $r,\ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2}，\cdots,\alpha_i$, 是其中 $r$ 个向量. 假设下列条件之一成立:
(1) $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性无关;
(2) 任一 $\alpha_i$ 均可由 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性表示.
求证: $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是向量组的极大无关组.

[白皮例3.31] 设 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\}$, 其中 $a,b,c\in\mathbb{Q}$, 证明 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 是有理数域上的线性空间并求其维数.
注：事实上可以验证 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 是一个数域, 又 $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, 故 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间.证明加法、减法和乘法封闭很容易, 证明除法封闭时要用到一个事实：

\[a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\Leftrightarrow a^3+2b^3+4c^3-6abc=0\Leftrightarrow a=b=c=0. \]

[白皮例3.43] 在四维行向量空间中求从基 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 到 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 的过渡矩阵，其中

\[\boldsymbol{e}_1=(1,1,0,1),\:\boldsymbol{e}_2=(2,1,2,0),\:\boldsymbol{e}_3=(1,1,0,0),\:\boldsymbol{e}_4=(0,1,-1,-1),\\ \boldsymbol{f}_1=(1,0,0,1),\:\boldsymbol{f}_2=(0,0,1,-1),\:\boldsymbol{f}_3=(2,1,0,3),\:\boldsymbol{f}_4=(-1,0,1,2). \]

注：设四维行向量空间的标准行向量为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$, 从 $\alpha_1,\cdots,\alpha_4$ 到 $e_1,\cdots,e_4$ 的过渡矩阵为 $A$, 从 $\alpha_1,\cdots,\alpha_4$ 到 $f_1,\cdots,f_4$ 的过渡矩阵为 $B$, 于是从 $e_1,\cdots,e_4$ 到 $f_1,\cdots,f_4$ 的过渡矩阵为 $A^{-1}B$.

[白皮例3.45] 设$V$ 是次数不超过 $n$ 的实系数多项式全体组成的线性空间，求从基$\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ 到基 $\{1,x-a,(x-a)^2,\cdots,(x-a)^n\}$ 的过渡矩阵，并以此证明多项式的 Taylor 公式：

\[\begin{aligned}f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n,\end{aligned} \]

其中 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 n 次导数.
注：过渡矩阵很好求, 注意到将 $x-a$ 变成 $x+a$ 就是过渡矩阵的逆了.

[白皮例3.47] 设 $\alpha_1=(1,0,-1,0),\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,2,1),\boldsymbol{\alpha}_3=(2,1,0,1)$ 是四维实行向量空间 $V$ 中的向量，它们生成的子空间为 $V_1$, 又向量 $\beta_1=(-1,1,1,1),\beta_2=(1,-1,-3,-1),\boldsymbol{\beta}_{3}=(-1,1,-1,1)$ 生成的子空间为 $V_2$, 求子空间 $V_1+V_2$ 和 $V_1\cap V_2$ 的基.
注：$V_1+V_2$ 的极大无关组很好求. $V_1\cap V_2$ 的一组基的求法涉及到矩阵秩的运算或者线性方程组的求解.

[白皮例3.54] 设$V_1,V_2,\cdots,V_m$ 是数域 F 上向量空间 $V$ 的 $m$ 个真子空间，证明：在$V$ 中必存在一个向量 $\alpha$, 它不属于任何一个 $V_i$.
注：方法一：利用数学归纳法, 可以构造出一个无限向量集 $\{t\alpha+\beta|t\in\mathbb{F}\}$ 使其与 $m$ 个真子空间只有有限个交点, 从而不难找出一个向量, 它不属于任何一个 $V_i$. 方法二：取出 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots,e_n$, 再构造出一个无限向量集合 $S=\{e_1+ke_2+k^2e_3+\cdots+k^{n-1}e_n|k\in\mathbb{R}\}$, 则 $S$ 中任意 $n$ 个不同的向量构成了 $V$ 的一组基, 因为每个 $V_i$ 至多包含 $S$ 中 $n-1$ 个向量, 从而一定能找到一个 $\alpha$ 不属于任何一个 $V_i$.

[白皮例3.55] 设$V_1,V_2,\cdots,V_m$ 是数域 F 上向量空间 $V$ 的 $m$ 个真子空间，证明： $V$ 中必有一组基，使得每个基向量都不在诸 $V_i$ 的并中.
注：反复利用例3.54或利用例3.54的方法二.

[白皮例3.56] 设$V$ 是数域 K 上的线性空间，$U$ 是$V$ 的子空间. 对任意的 $v\in V$, 集合 $v+U:=\{\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\mid\boldsymbol{u}\in U\}$ 称为 $v$ 的 $U$-陪集. 在所有 $U$-陪集构成的集合$S=\{\boldsymbol{v}+U\mid\boldsymbol{v}\in V\}$ 中，定义加法和数乘如下，其中 $v_1,\boldsymbol{v}_2\in V,k\in\mathbb{K}:$

\[(\boldsymbol{v}_1+U)+(\boldsymbol{v}_2+U):=(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)+U,\quad k\cdot(\boldsymbol{v}_1+U):=k\cdot\boldsymbol{v}_1+U. \]

证明下列结论成立：
(1) $U$-陪集之间的关系是：作为集合或者相等，或者不相交;
(2) $\boldsymbol{v}_1+U=\boldsymbol{v}_2+U$ (作为集合相等) 当且仅当 $v_1-\boldsymbol{v}_2\in U$. 特别地，$v+U$ 是 $V$ 的子空间当且仅当 $v\in U$;
(3) $S$ 中的加法以及 K 关于 $S$ 的数乘不依赖于代表元的选取，即若 $v_1+U=$ $v_1^{\prime}+U$ 以及 $v_2+U=\boldsymbol{v}_2^{\prime}+U$,则 $(\boldsymbol{v}_1+U)+(\boldsymbol{v}_2+U)=(\boldsymbol{v}_1^{\prime}+U)+(\boldsymbol{v}_2^{\prime}+U)$,以及$k\cdot(\boldsymbol{v}_1+U)=k\cdot(\boldsymbol{v}_1^{\prime}+U);$
(4) $S$ 在上述加法和数乘下成为数域 K 上的线性空间，称为 $V$ 关于子空间 $U$ 的商空间，记为$V/U$.
注：此题的证明并不难, 主要在于了解此概念.

[白皮例3.57] 设$V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间，$U$ 是$V$ 的子空间，$W$ 是$U$ 的
补空间，证明$:\dim V/U=\dim V-\dim U$,并且存在线性同构 $\varphi:W\to V/U$.
注：设 $V$ 的一组基为 $\{e_1,\cdots,e_m\}$, $U$ 的一组基为 $\{e_{m+1},\cdots,e_n\}$, 则 $V$ 的一组基为 $e_1,\cdots,e_n$. 我们可以证明 $\{e_1+U,\cdots,e_n+U\}$ 是商空间 $V/U$ 的一组基, 此命题的证明就是常规方法, 先证明商空间中任意向量都能表示成 $\{e_1+U,\cdots,e_n+U\}$ 的线性组合且 $\{e_1+U,\cdots,e_n+U\}$ 线性无关, 这样就证明了$\dim V/U=\dim V-\dim U.$ 可以定义线性同构为 $\varphi(w)=w+U$.

[白皮例3.85] 求证：矩阵 $A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是 $A$ 存在一个 $r$ 阶子式 $|D|$ 不等于零，而 $|D|$ 的所有 $r+1$ 阶加边子式全等于零.
注：必要性是显然的; 充分性要用到缩短向量.

[白皮例3.90] 设 $A,B,C$ 分别为 $m\times n,p\times q$ 和 $m\times q$ 矩阵，$M=\begin{pmatrix}A & C\\O&B\end{pmatrix}$. 证明： $r(M) = r( A) + r( B) $ 成立的充要条件是矩阵方程 $AX+YB=C$ 有解，其中$X,Y$ 分别是 $n\times q$ 和 $m\times p$ 未知矩阵.
注：充分性直接用利用矩阵等式作矩阵的分块初等变换即可; 必要性要用到相抵标准型.

[白皮例3.92] (满秩分解) 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 证明:
(1) $A=BC$, 其中 $B$ 是 $m\times r$ 矩阵且 $r(B)=r$, $C$ 是 $r\times n$ 矩阵且 $r(C)=r$, 这种分解称为 $A$ 的满秩分解.
(2) 若 $A$ 有两个满秩分解 $A=B_1C_1=B_2C_2$, 则存在 $r$ 阶非异阵 $P$, 使得 $B_2=B_1P$, $C_2=P^{-1}C_1$.
注：(1) 利用相抵标准型; (2) 事实上, 存在行满秩阵 $S_2$, 列满秩阵 $T_2$, 使得 $S_2B_2=C_2T_2=I_r$. 此命题说明 $C_1B_1$ 与 $C_2B_2$ 相似.

[白皮例3.94] 设$A,B$ 分别是 $3\times2,2\times3$ 矩阵且满足

\[AB=\begin{pmatrix} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{pmatrix} \]

试求 $BA$.
注：不难求的 $r(AB)=2$, 从而 $r(A)=r(B)=2$, 即 $A$ 是列满秩阵, $B$ 是行满秩阵, 注意到 $AB$ 的后两列线性无关, 于是可以将后两列看成矩阵 $A_1$, 以此得到矩阵 $B_1$, 使得 $AB=A_1B_1$, 从而 $BA$ 与 $B_1A_1$ 相似.

[白皮例3.95] 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 r$(A)=r$,求证： $A^2=A$ 的充要条件是存在秩等于$r$ 的$n\times r$ 矩阵$S$ 和秩等于$r$ 的$r\times n$ 矩阵$T$,使得 $A=ST,TS=I_r$.
注：利用相抵标准型或相似标准型. 推论：$\text{tr}(A)=r(A)$.

[白皮例3.103] 设 $V_{0}$ 是数域 K 上 $n$ 维列向量空间的真子空间，求证：必存在矩阵$A, $使得$V_0$ 是 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间.
注：取出 $V_0$ 的一组基 $\beta_1,\cdots,\beta_m$, 令 $B=(\beta_1,\cdots,\beta_m)$, 则 $r(B)=m$, 考虑齐次线性方程组 $B'x=0$.

[白皮例3.105] 设 $A,B$ 为 $m\times n$ 和 $m\times p$ 矩阵，$X$ 为 $n\times p$ 未知矩阵，证明：矩阵方程 $AX=B$ 有解的充要条件是 r$(A|B)=\operatorname{r}(A).$
注：$AX=B$ 有解 $\Longleftrightarrow B$ 的列向量能被 $A$ 的列向量线性表示 $\Longleftrightarrow r(A|B)=r(A)$.

[白皮例3.106] 设 $A=\begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&2&3&3\\2&3&5&4\\3&5&8&7\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&1\\5&-1\\6&0\\11&-1\end{pmatrix}$, $X$ 为 $4\times2$ 未知矩阵，试求据矩阵方程 $AX=B$ 的解.
注：考虑初等行变换:

\[\left( \begin{array}{cccc|cc} 1&1&2&1&1&1\\ 1&2&3&3&5&-1\\ 2&3&5&4&6&0\\ 3&5&8&7&11&-1 \end{array} \right)\to \left( \begin{array}{cccc|cc} 1&0&1&-1&-3&3\\ 0&1&1&2&4&-2\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array} \right) \]

于是 $r(A|B)=r(A)$, 即矩阵方程有解且解为

\[X=\begin{pmatrix} -1&1\\ -1&2\\ 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{11}&k_{12}\\ k_{21}&k_{22} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -3&3\\ 4&-2\\ 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad k_{ij}\in\mathbb{R}. \]

[白皮例3.107] 设 $A,B$ 为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 矩阵，证明：存在 $p\times n$ 矩阵 $C$,使得$ABC=A$ 的充要条件是 $r(A)=\operatorname{r}(AB)$.
注：注意到 $r(A)\ge r(AB)\ge r(ABC)$, 且 $ABC=A\Longleftrightarrow r(AB|A)=r(AB), r(AB)\le r(AB|A)=r(A(B|I_n))\le r(A)$.

[白皮例3.108] 设有两个非齐次线性方程组 (I), (II), 它们的通解分别为

\[\gamma+t_1\boldsymbol{\eta}_1+t_2\boldsymbol{\eta}_2;\quad\boldsymbol{\delta}+k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2, \]

其中 $\gamma\:=\:(5,-3,0,0)^{\prime}$, $\eta_1=\:(-6,5,1,0)^{\prime}$, $\eta_{2}\:=\:(-5,4,0,1)^{\prime}$; $\delta=(-11,3,0,0)^{\prime}$, ${\xi}_1=(8,-1,1,0)^{\prime},{\xi}_2=(10,-2,0,1)^{\prime}$. 求这两个方程组的公共解.

注：有点像例3.43.