首先考虑你只插入若干个数怎么做：按位从低到高插入一棵 Trie，问题就变成：在 Trie 上每次可以往左儿子走或者往右儿子走，如果当某个人操作的时候为空节点那么这个人就输了。
如果我们可以将这棵树建出来那么这个问题就是好解决的，可惜建不出来。仿照从高到低建 Trie 的方法，将其二进制拆分成若干个段 \([l,l+2^k-1]\)，且满足 \(l\bmod 2^k=0\)。那么这在从低到高的 Trie 上表现就是：前 \(k\) 层是满的，后面每个都是相同的一个。更进一步的，对于每个 \(k\) 建立一棵这样的 Trie，那么在第 \(i\) 棵 Trie 上，前 \(i\) 步不动，后 \(i\) 步正常走。
如果直接这样走，状态数显然不会超过 \(n\log ^2V\)，只需要有一个合适的方法记录状态即可，使用 xor-hash，给每个点赋值一个点权，如果所有 xor 起来相等就认为相等，错误概率仅有 \(2^{-64}\)，可以接受。这样直接记搜，时间复杂度 \(O(n\log ^3a+n\log ^2a\log n)\)。