Burnside

为了防止明天就把好不容易听完的东西都还给 rabbit_lb 了，还是记一点吧。 1. 群论基础 1.1 群(group) 的定义 给定集合 \(G\) 和 \(G\)上的二元运算 \(\cdot\)，满足下列条件称之为群： 封闭性：若 \(a,b\in G\)，则 \(a\cdot b\in G\ ......

Burnside引理与Polya定理 例题A题解 Polya模板。 Polya定理给出，如果设有限集 \(D\) 的置换群为 \(G\)，\(C\) 是由全体用 \(m\) 种颜色为 \(D\) 中颜色染色的方案构成的集合，每个置换 \(\sigma\) 的循环总数是 \(c(\sigma)\)，那 ......

burnside引理 |X/G|= 1/|G| * ∑ |X^g| （不会打mkd） 有一个A集合，一个B集合，X集合为所有A到B的映射（就是对于A的每个元素选择一个B集合的元素，比如给“正方体的面选颜色”，面是A集合，颜色是B集合，所有方案为集合X） G为A的置换群，包含若干对A的元素的置换操作 ......

# Burnside 定理 ## 问题： 给定一个 $n$ 个点，$n$ 条边的环，有 $m$ 种颜色，给每个顶点染色，问有多少种**本质不同**的染色方案，答案对 $10^9+7$ 取模 注意本题的本质不同，定义为：**只需要不能通过旋转与别的染色方案相同**。 ## 题目初步解读 我们考虑如果不 ......

置换群 Burnside定理和Polya计数都需要运用置换群的知识 置换群主要有三种运算，分别是合成运算、恒等置换、置换的逆 运用着三种运算就可以推导出Burnside定理和Polya计数的公式 Burnside定理 Burnside定理的主要应用是循环排列计数、项链计数、正五角形着色等 下面给出一 ......

定义 群：$(S,\circ)$，集合$S$ 和二元运算 $\circ$，其中 $\cdot$ 满足： 封闭性；结合律；存在单位元 $e$；任意元素 $a$ 存在逆元 $a^{-1}$． 若仅满足存在左单位元和左逆元，可证左右单位元/逆元唯一且相等。 交换群 / 阿贝尔群：满足交换律的群。 半群：运 ......