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称一条边在**环外**当且仅当其两端点不全在环上 用总方案数减去不合法的方案数，并分类讨论—— - **Case1：**图中不存在某种颜色的边 - 否则，若存在简单环的颜色集合为$\{1,2,3\}$，则环上每种颜色的边恰有一条 > 否则，若颜色为$1$的边数$\ge 2$，则去掉其中一条后得到的简 ......

考虑网络流，具体建图如下： 整张图共$4$层，用$(i,j)$表示第$i$层的第$j$个点，则边集包含 - 从$S$向$(1,i)$连流量为$1$的边 - 从$(1,i)$向$(2,a_{i})$和$(2,b_{i})$连流量为$1$的边 - 从$(2,i)$向$(3,i)$连流量为$1$的边 - ......