重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通过某一曲面的磁通量。
第一类曲线与曲面积分
第一类曲线积分
对于定义曲线积分，我们当然还是采用Riemann和的形式。但如同定义重积分时需要先定义平直空间面积微元，我们首先需要定义的是弯曲空间的长度微元——而这就是某一段曲线的长度。因此我们首先需要定义曲线长度。
曲线的长度可以用折线来逼近，当这种逼近趋向无穷细的时候，折现总长的极限就定义为曲线的长度。但并不是所有曲线都是可求长的，比如对三角形的每条边长出一个小三角形这种“分形曲线”，每次迭代都会使得总长度乘以\(4/3\)，因此不断迭代后就会在有限的区域内形成无穷的长度，这种曲线就是不可求长的。因此我们把曲线的长度定义为所有可能折线逼近的上确界，如果它是有限的，就称曲线的是可求长的。这个定义是符合直观的，因为两点间的“折线段”永远是小于“曲线段”的，因此随着划分的加细，折线的总长会不断变大，所以上确界就是极限值。
然而对于不连续的曲线，这种定义方式就会与直观相去甚远。对于特意把折现选在偏离很远的不连续点上的划分方式，这样得到的上确界会比实际看到的曲线长大很多。因此我们把我们讨论的曲线限制在“连续曲线”的范围内。我们用参数化\(r(t)\)来方便得表示一条曲线。于是曲线就可以看作一个粒子的运动。此时我们又必须要求这个粒子的运动不能停下来，因为如果停下来它就有可能掉头往回走， 结果是我们求出了很大的曲线长度，而它却只是在重复来回走同一段路径。同时为了方便计算，我们还要求\(r(t)\)是处处可求导的。这样定义出来的曲线就称为“正则曲线”。我们可以求出它的长度\(\sum\limits_{i}\|r(t_{i+1})-r(t_i)\|\)。由微分中值定理（因为只有一个自变量，这就是对每一维用一元的微分中值定理）可以直接得到积分表达式\(\ell = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\|r'(t)\|dt\)。
这样我们就可以定义第一类曲线积分了！定义在可求长曲线上的函数\(f\)在曲线上的积分\(\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i}f(\xi_i)\Delta s_i=\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f \ ds\)。这里\(ds\)是弧长微元，是对\(\|r'(t)\|dt\)的简写。当\(f \equiv 1\)时第一类曲线积分就直接给出了曲线长度。
容易证明，线性性和区间可加性对第一类曲线积分依然成立。换元法（选取新的参数化）也依然是成立的，这很符合直觉，但证明却不是显然的——我们要证明\(\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f \ ds=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(r(t))\|r'(t)\|dt\)。根据定义，就是要证明\(\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i}f(\xi_i)\Delta s_i\)就是右侧的定积分，其中\(\Delta s_i=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\|r'(t)\|dt\)。于是，把右侧的定积分依据区间可加性拆成相同的区间，即证\(\left|\sum\limits_{i}\left(f(\xi_i)-\displaystyle\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(r(t))\right)\|r'(t)\|dt\right|\)\(=\left|\sum\limits_{i}\displaystyle\int_{t_{i-1}}^{t_i}\left|f(r(\tau_i))-f(r(t))\right|\|r'(t)\|dt\right| \leq \sum\limits_{i} \omega_i \Delta s_i\)。由于正则曲线是定义在紧集上的连续曲线，所以它具有“一致连续”的性质。“一致连续”能够让我们想要让振幅小于一个值时，只需把自变量分割成确定大小的区间。所以我们能够说明当划分趋向无穷细的时候，这个“差值”是趋向0的。