定点问题转化为斜率和、积问题
已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，且点\(\left(1,-\dfrac{3}{2}\right)\)在椭圆上.
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程
\((2)\) 如图，椭圆\(C\)的左、右定点分别为\(A,B\)，点\(M,N\)是椭圆上异于\(A,B\)不同的两点，直线\(BN\)的斜率为\(k(k\neq 0)\)，直线\(AM\)的斜率为\(3k\)，证明：\(MN\)过定点.
\((1)\) \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)
\((2)\) 因\(k_{MA}\cdot k_{MB}=-\dfrac{3}{4}\)
从而\(k_{BM}=-\dfrac{1}{4k}\)
从而\(k_{BM}\cdot k_{BN}=-\dfrac{1}{4}\)
设\(BM:y-k_{BM}(x-2)=0,BN:y-k_{BN}(x-2)=0\)
两直线做乘有
\(y^2-y(x-2)(k_{BM}+k_{BN})+k_{BM}k_{BN}(x-2)^2=0\)
联立\(C\)即\(y^2=\dfrac{3(2-x)(2+x)}{4}\)
即有$$\dfrac{3(2-x)(2+x)}{4}-y(x-2)(k_{BM}+k_{BN})-\dfrac{1}{4}(x-2)^2=0$$
即$$\dfrac{3(2+x)}{4}+y(k_{BM}+k_{BN})-\dfrac{1}{4}(2-x)=0$$
从而过定点\((1,0)\)