明显的一道同构处理，韦达定理
抛物线\(E:x^2=2py(p>0),M:x^2+(y-2p)^2=1,F\)是抛物线的焦点，过点\(F\)作圆\(M\)的切线，切线长为\(2\)
\((1)\) 求抛物线\(E\)的方程
\((2)\) 已知\(A,B,C\)是抛物线\(E\)上三点，\(A\)不与原点重合，直线\(AB,AC\)与圆\(M\)相交得到的弦长都是\(\sqrt3\)，直线\(BC\)与直线\(AF\)垂直，求\(A\)的横坐标.
解
\((1)\) \(x^2=2y\)
\((2)\) 由直线\(AB,AC\)与圆\(M\)想切得到的弦长都是\(3\)这个人条件得知，这里一定是个同构处理，利用韦达定理，\(B,C\)两点之间会有一个变量关系.
设\(A:(2a,2a^2),B(2b,2b^2),C(2c,2c^2)\)
直线\(AB:y-2a^2=(a+b)(x-2a)\)即\(y-(a+b)x+2ab\)
则圆心到\(AB\)的距离为\(d=\dfrac{|2+2ab|}{\sqrt{1+(a+b)^2}}\)
则根据弦长公式\(\dfrac{l^2}{4}=d^2-R^2\)
整理有\(b^2(16a^2-1)+30ab+15-a^2=0\)
同理\(c\)也适合上方程，从而\(b,c\)是方程
\(x^2(16a^2-1)+30ax+15-a^2=0\)的两个根
即\(b+c=-\dfrac{-30a}{16a^2-1},bc=\dfrac{15-a^2}{16a^2-1}\)
\(k_{AF}\cdot k_{BC}=\dfrac{4a^2-1}{4a}\cdot(b+c)=-1\)
即\(\dfrac{4a^2-1}{4a}\cdot\dfrac{30a}{1-16a^2}=-1\)
得\(a=\pm\dfrac{\sqrt{91}}{14}\)