4、证明命题\(11.4\)
命题\(11.4\) 勒让德符号的若干属性
设 \(p\)是奇素数,\(a, b\in Z\) 且不被 \(p\) 整除。则有:
1、如果\(a\equiv b\pmod p\),则\((\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})\)
2、\((\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})\)
3、\((\frac{a^2}{p})=1\)
证明:
1、\(a\equiv b\pmod p\),此时\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)当且仅当\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)当且仅当\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)
当\(a\),\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时,此时
当\(a\),\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时,此时
所以如果\(a\equiv b\pmod p\),则\((\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})\)
2、当\(a\),\(b\)是均模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时,由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QR}\)可得:\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),此时有:
当\(a\),\(b\)中有一个为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),另一个为模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\),命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QNR}=\mathbf{QNR}\)可得:\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\),此时有:
当\(a\),\(b\)是均模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时,由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QNR}\times\mathbf{QNR}=\mathbf{QR}\)可得:\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),此时有:
所以:\((\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})\)
3、当\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时,由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QR}\)可得:\(a^2\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),此时有:
当\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时,由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QNR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QNR}\)可得:\(a^2\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),此时有:
所以:\((\frac{a^2}{p})=1,\)
5、给出推论\(11.1\)的完整证明。
推论\(11.1\):设\(p\)是一个奇素数,则:
证明:由欧拉准则可得:\((\frac{-1}{p})=(-1)^{(p-1)/2}\)
当\(p\equiv1\pmod 4\),设\(p=4k+1\),\(k\)为整数,则有
当\(p\equiv-1\pmod 4\),设\(p=4k-1\),\(k\)为整数,则有
推论\(11.1\)得证。
6、设\(p\) 是奇素数,请证明\(Z^*_p\)的所有生成元都是模\(p\)的二次非剩余。
证明:设\(g\)为\(Z^*_p\)的生成元,假设\(g\)模\(p\)的\(\mathbf{QR}\),则有
又由欧拉准则可得:
即:
与这与\(g\)的阶为\(p-1\)矛盾,所以\(g\)为模\(p\)的二次非剩,即\(Z^*_p\)的所有生成元都是模\(p\)的二次非剩余。