1(6/7)
设G是群，对任意n ∈ N, i ∈ [0, n]，gi ∈ G。
证明g0g1 · · · gn 的逆元是gn-1· · · g1-1，g-1
gi∈G，则gi-1∈G
有gigi-1=e
右逆：（g0g1 · · · gn）（gn-1· · · g1-1，g-1）
=g0g1 · · · gn * gn-1· · · g1-1，g0-1
=g0g1 · · · gn-1 * e * gn-1-1· · · g1-1，g0-1
=e
左逆：（gn-1· · · g1-1，g-1）（g0g1 · · · gn）
=gn-1· · · g1-1g0-1 * g0g1 · · · gn
=gn-1-1· · · g1-1，g0-1 * e * g0g1 · · · gn-1
=e
2(6/8)
证明：任意群 G 的两个子群的交集也是群 G 的子群。
令G的两个子群H1、H2交集为H
∀a,b∈H
ab-1∈H1
ab-1∈H2
因为H=H1∩H2
所以ab-1∈H
得证。
3（6/9）
证明或证伪：任意群 G 的两个子群的并集也是群 G 的子群。
根据子群的定义,H1和H2是G的子集,不一定包含G中的所有元素。
∃x∈G,x∉H1，x∉H2。
∀a,b∈G,ab∈G。
取a∈H1,b∈H2。则a,b∈G。
a*b∈G。
G中存在元素不在H1也不在H2中,设此元素为x。
取ab=x,即存在a∈H1和b∈H2,使得ab不在H1也不在H2中。
例证：设G为整数加法群(Z,+), 取G的两个子群: H1 = {0, 2, 4, 6, ...} H2 = {0, 3, 6, 9, ...}
取a = 2,b = 3,其中a∈H1,b∈H2
则a + b = 2 + 3 = 5,不在H1也不在H2中
4（6/10）
G 是阿贝尔群，H 和 K 是 G 的子群。请证明 HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K} 是群 G 的子群。如果 G 不是阿贝尔群，结论是否依然成立？
证明:
(1) 显然HK是G的非空子集。
(2) 封闭性：
针对任意的h1，h2∈H和k1，k2∈K,都有: h1k1，h2k2∈HK， 且(h1k1)(h2k2) = (h1h2)(k1k2) (结合律)
又因为G是阿贝尔群,所以(h1k1)(h2k2)=(h1h2)(k1k2)。 因此，(h1k1)(h2k2) ∈ HK 所以HK对于它的任意元素封闭。
（3）结合律:
取h1,h2,h3∈H,k1,k2,k3∈K
则(h1k1)((h2k2)(h3k3))
= (h1k1)(h2h3)(k2k3)
= (h1(h2h3))(k1(k2k3))
= ((h1h2)h3)(k1(k2k3))
= (h1h2)(h3k3)(k1k2)
= ((h1k1)(h2k2)) (h3k3)
因此HK满足结合律。
(4)逆元:
∀h∈H,k∈K,有h-1∈H,k-1∈K (子群的逆元封闭性)
则(hk)-1 = k-1h-1 ∈ HK
所以HK对其任意元素hk都存在逆元。
若G不是阿贝尔群：
根据群的定义,如果G不是阿贝尔群,则∃a,b∈G使ab≠ba。
由于H和K都是G的子群,所以H和K中的元素也属于G。
因此对于H中的h和K中的k,可能hk≠kh。
如果hk≠kh,则hk∉HK,因为当kh∈HK时,hk不在HK中。当kh不在HK时,即不存在h'∈H,k'∈K使得h'k'=kh,显然hk也不在HK中。即若hk≠kh,不管kh是否在HK中,都可以推出hk不属于HK。
所以存在h∈H和k∈K,使得hk不在HK中。
即HK不封闭,不满足子群的条件。
综上,如果G是非阿贝尔群,则HK不一定是G的子群。