1、. 如果环\(R\)带乘法单位元 \(1\)，对任意 \(a\in R\)，请证明 \(−a = (−1)a\)。
解：由命题\(12.1\)中\(a(-b) = (-a)b = -ab\)可得：\((−1)a=-1a\)，而\(1\)时乘法单位元，所以\(1a=a\)，所以\(−a = (−1)a\)
2、如果任取环\(R\)中的元素\(x\)都满足\(x^2=x\)，请证明环\(R\)是交换环。
解：任取\(a,b\in R\)，\(a+b\in R\)，所以有
又由于：
所以：
又由于乘法封闭性：\(ba\in R\)，可得：\(-ba\in R\)
又因为环\(R\)中的元素\(x\)都满足\(x^2=x\)可得：
可推得：$$ba=-ba$$
根据上面\(ab=-ba\)可得
所以环\(R\)是交换环。
3、请解释为什么\(\mathbf{Z_n}\)在加法上的子群都是\(\mathbf{Z_n}\)的子环。
解：解释为什么\(\mathbf{Z_n}\)在加法上的子群都是\(\mathbf{Z_n}\)的子环，我们需要解释\(\mathbf{Z_n}\)在加法上的子群对乘法满足封闭性，结合律，分配律。
假设\(\mathbf{Z_n}\)在加法上的子群为\(H\)。
封闭性：说明任取\(a,b\in H\)时，\(ab\in H\)。
因为\(H\)对加法封闭，我们可以将乘法转换为加法，即：
所以\(H\)对乘法封闭。
结合律：任取\(a,b,c\in H\),由\(H\)是\(Z_n\)的子群可得\(a,b,c\in Z_n\)。由于\(Z_n\)是一个交换环，所以\((a*b)*c=a*(b*c)\)，即\(H\)对乘法满足结合律。
分配律：与结合律同理可证：由于\(H\)中的元素全都在\(Z_n\)中，而\(Z_n\)是一个交换环，对乘法满足分配律，所以\(H\)也对乘法满足结合律。
14、证明环\(2Z\)不与环\(3Z\)同构。
解：反证法：我们先假设环\(2Z\)与环\(3Z\)同构，则存在一种双射关系\(\phi:2Z\longmapsto 3Z\)满足：
当\(a=b=2\)时，
联立解得：\(\phi(2)=0或2\)，又由环同构的性质可得：\(\phi(0)=0\)，因为\(\phi\)是一种双射关系，即可得：如果任取\(a,b\in 2Z\)，\(a\neq b\)，则\(\phi(a)\neq \phi(b)\)。所以\(\phi(2)\neq0,\phi(2)=2\)，但是此时\(\phi(2)\notin3Z\)，有矛盾，所以假设不成立，即环\(2Z\)不与环\(3Z\)同构。