以下是微分几何和几何分析中常见的公式，使用Markdown格式呈现：
微分几何：
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曲线相关的公式：
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弧长公式：
\( s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(t))^2} \ dt \)
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切向量公式：
\( \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} \)
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曲率公式：
\( \kappa(t) = \frac{\| \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3} \)
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曲面相关的公式：
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第一基本形式：
\( ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \)
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法向量公式：
\( \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|} \)
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高斯曲率公式：
\( K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \)
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平均曲率公式：
\( H = \frac{EG - 2F^2}{2(EG - F^2)} \)
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几何分析：
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曲线积分公式：
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第一类曲线积分：
\( \int_C f(x,y) \ ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t)) \ \|\mathbf{r}'(t)\| \ dt \)
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第二类曲线积分：
\( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \ dt \)
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曲面积分公式：
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第一类曲面积分：
\( \iint_S f(x,y,z) \ dS = \iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v)) \ \left\| \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}} \right\| \ du \ dv \)
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第二类曲面积分：
\( \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_{D} \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot \left( \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}} \right) \ du \ dv \)
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这些是微分几何和几何分析中常见的公式。请注意，具体的内容和公式可能因问题而异。如果您有特定的问题，请提供更多上下文，我将尽力提供更准确的回答。