关于这个数列，常规采用归纳法证明，下面采用一种运用累加和构造的思想来证明。
先考虑自然数的和，即 ∑�=1��=1+2+3+⋯+�=�(�+1)2
这个公式可以由等差数列求和得到，但此题中我们换一种方法。
我们有
(�+1)2=�2+2�+1
则
(�+1)2−�2=2�+1
连续写几项：
22−12=2×1+1
32−22=2×2+1
42−32=2×3+1
......
(�+1)2−�2=2�+1
累和得到： (�+1)2−1=2×∑�=1��+�
移项化简即可得到： ∑�=1��=1+2+3+⋯+�=�(�+1)2
掌握了这种方法，我们就可以求自然数平方和了。
与上面类似的，我们有：
(�+1)3=�3+3�2+3�+1
则：
(�+1)3−�3=3�2+3�+1
连续写几项：
23−13=3×12+3×1+1
33−23=3×22+3×2+1
......
(�+1)3−�3=3�2+3�+1
累加得：
(�+1)3−1=3×∑�=1��2+3×∑�=1��+�
= (�+1)3−1=3×∑�=1��2+3×�(�+1)2+�
移项化简得：
∑�=1��2=12+22+32+⋯+�2=�(�+1)(2�+1)6
以此方法可推导自然数任意次幂的和。
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