在计算组合数式子的时候，我们时常会看到这样的式子：
\[\frac{(-2n)!((-n/2)!)^2}{((-n)!)^3}
\]
然而，我们不知道什么是负数的阶乘。这里必须引入一个特殊函数——\(\Gamma\) 函数。
\[\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt(\Re(z)>0)
\]
有
\[\Gamma(z)=-\int _0^{\infty}t^{z-1}de^{-t}=(z-1)\int _0^{\infty}e^{-t}t^{z-2}dt-\left[t^{z-1}e^{-t}\right]_0^{\infty}=(z-1)\Gamma(z-1)
\]
那么可以归纳得知
\[\Gamma(z)=(z-1)! (z\in \N)
\]
根据上面的结果，我们可以对 \(\Gamma(z)\) 延拓至全体实数，除了负整数。
但是可以计算 \(\Gamma(z)\) 在 \(z=-n\) 处的留数：
\[Res(\Gamma(z);-n)=\lim_{z\to -n}(z+n)\Gamma(z)=\lim_{z\to -n}\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\dots (z+n+1)}=\frac{(-1)^n}{n!}
\]
欧拉无穷乘积：
令
\[H_n(z)=\int _0^n(1-\frac{t}{n})t^{z-1}dt
\]
有
\[\lim _{n\to\infty}H_n(z)=\Gamma(z)
\]
证明：
首先注意到
\[e^{-t}=\lim_{n\to\infty}(1-\frac t n)^n
\]
然后两式相减。
\[\Gamma(z)-\lim_{n\to \infty} H_n(z)\\
=\lim_{n\to \infty}\left(\int_0^n(e^{-t}-(1-\frac t n)^n)t^{z-1}dt-\int _n^{\infty}e^{-t}t^{z-1}dt\right)\\
=\lim_{n\to \infty}\int_0^n\left[e^{-t}-(1-\frac t n)^n\right]t^{z-1}dt
\]
熟知不等式
\[1+t\le e^{-t}\le \frac{1}{1-t},t>0
\]
故
\[\le e^{-t}-(1-\frac{t}n)^n=e^{-t}\left(1-e^t(1-\frac{t}n)^n\right)\\
\le e^{-t}\left(1-e^t(1-\frac{t^2}{n^2})^n\right)
\]
根据伯努利不等式 \((1-x)^n\ge 1-nx(x\in [0,1])\)。
\[e^{-t}-(1-\frac{t}n)^n\le \frac{e^{-t}t^2}{n}
\]
于是
\[\lim_{n\to\infty} \left|\int_0^n\left[e^{-t}-(1-\frac t n)^n\right]t^{z-1}dt\right|\\
\le \lim_{n\to\infty} \left|\frac 1 n\int_0^ne^{-t}t^{z+1}dt\right|\\
=0
\]
证毕。
而在
\[H_n(z)=\int _0^n(1-\frac{t}{n})t^{z-1}dt
\]
中，令 \(\frac{t}n\to t\)，得到
\[H_n(z)=n^z\int _0^1(1-t)^nt^{z-1}dt
\]
这个式子可以分部积分然后转为递推式，最终得到：
\[H_n(z)=\frac{n!n^z}{z(z+1)\dots (z+n)}
\]
尝试代入上面证明的式子：
\[\Gamma(z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)\dots (z+n)}\\
=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{z}\left(\prod_{i=1}^n\frac{i}{z+i}\right)\left(\prod_{i=1}^{n-1} (1+\frac{1}{i})^z\right)\\
=\frac{1}{z}\prod_{i=1}^{\infty}\left(\frac{k}{z+k}(1+\frac 1 k)^z\right)\\
=\color{red}{\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left(\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac 1 n\right)^z\right)}
\]
这是欧拉无穷乘积。