微分流形Loring W. Tu section19 19.12 解答-526互联

微分流形Loring W. Tu section19 19.12 解答，当然咯我自己也不知道是否严谨正确，反正就是自己的思考与想法，简单一写，欢迎友好讨论.

19.12 对于任意的$f \in C^{\infty}(M)$, $\forall p \in M$, 定义映射

\[\begin{aligned} \varphi: \mathfrak{X}(M) &\to Der(C^{\infty}(M))\\ X &\mapsto X_{p}f \end{aligned}\]

证明：$\varphi$是一个同构映射.

$Proof.$ 线性和单射是非常容易验证的.下面我们讨论满射，

先考虑流形$M$上任意一个开集$U$, 设$D \in Der(C^{\infty}(M))$, 由$Taylor $定理，

\[f(x)=f(0)+\sum_{i}(x^{i}-p^{i})g_{i}(p) \]

其中，$g_{i}(p)=\dfrac{\partial f }{\partial x^{i}} (p)$.

\[Df(x)=\sum_{i}(p^{i}-p^{i})Dg_{i}(x)+\sum_{i}D(x^{i})g_{i}(p) \]

\[Df(x)=\sum_{i}D(x^{i})g_{i}(p)=\sum_{i}D(x^{i})\dfrac{\partial f }{\partial x^{i}} (p) \]

$X_{p}=\sum_{i}D(x^{i})\dfrac{\partial }{\partial x^{i}} |p \in \mathfrak{X}(M)$.

下面考虑在流形$M$上, 取一个图册$\{(V_{i}, \varphi_{i}) \}$, 且$V_{i} \subset U_{i}$, $\theta_{i}$为对应的单位分解. $\forall i$, $\theta_{i}D :f \to \theta_{i}Df \in Der(C^{\infty}(M))$. 这样定义了一个唯一的导子$D_{i}\in C^{\infty}(U_{i})$,使得$D_{i}(f|U_{i})=(\theta_{i}Df)|_{U_{i}}$.

$\forall i$, 由上面的讨论可以知道$D_{i}$有原像$X_{i}\in \mathfrak{X}(M)$, 而$X_{i}$在$supp \theta_{i}$之外为$0$，取$X=\sum X_{i}$,

\[Xf=\sum X_{i}f=\sum D_{i}f=Df \]

故对于任意的$D \in Der(C^{\infty}(M))$，存在原像$X=\sum X_{i}$. 故$\varphi $为满射.

这就完成了证明.