Ayumu 的数学分析第 18 课讲到如下一个定理：
这个定理没有什么问题. 但是随后的注解部分是有问题的，摘录如下：
在注解的扩展定义中，E 可以涵盖上极限是 -∞ 的情形，但不能涵盖上极限是 +∞ 的情形；同样，F 可以涵盖下极限是 +∞ 的情形，但不能涵盖下极限是 -∞ 的情形. 具体看几个例子.
例 1：数列 {an}，其中 an = -n.
{an} 的极限点只有一个，即 -∞. 由上下极限的定义有
lim supn→∞ an = -∞，lim infn→∞ an = -∞.
由上述扩展的定义，E = {-∞}，F = ∅.
lim supn→∞ an = inf E 是满足的，但 lim infn→∞ an = sup F 显然是有问题的，因为此时 F 不是良定义的.
例 2：数列 {bn}，其中 bn = (-1)nn.
{bn} 的极限点有两个，即 -∞ 和 +∞. 由上下极限的定义有
lim supn→∞ an = +∞，lim infn→∞ an = -∞.
但由上述扩展的定义，E = F = ∅. 此时 E 和 F 都不是良定义的，im supn→∞ an = inf E 和 lim infn→∞ an = sup F 均不满足.