什么是糖水不等式？
\[\frac{a}{b}\lt \frac{a+m}{b+m} \ \ \ (m>0)
\]
凭直觉这个不等式当然是成立的，但数学这么严谨的东西你直觉算个姬直觉是不可靠的，那我们证明一下：
我们用改变后的浓度减去初始浓度：
\[\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{a(b+m)-b(a+m)}{a(a+m)}=\frac{(ab+am)-(ab+bm)}{a(a+m)}
\]
随后证明：
\[\because a\ b\ m>0 \ \ \ \therefore a(a+m)>0
\]
\[\because a>b , m>0 \ \ \ \therefore am-bm>0
\]
\[\because a(a+m)>0,am-bm>0 \ \ \ \therefore \frac{(am-bm)}{a(a+m)}>0
\]
推导可得：
\[\frac{a}{b}\lt \frac{a+m}{b+m}
\]
行吧运气好直觉对了
拿它来干点啥
证明 \(\prod \limits_{i=1} ^{n} {a_i} > f(n)\) 这类问题合适的不要不要的了。
来来来，试一试：
证明：
\[(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{6})......(1-\frac{1}{2n}) < \sqrt{\frac{1}{2n+1}}
\]
很简单对吧，看看做法：
记不等式左边为 \(I_n\)，有
\[I_n=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}......\times\frac{2n-1}{2n}
\]
有糖水不等式得知
\[\frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2}\ ,k=1,2,3,4...2n-1
\]
于是有
\[In<\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}......\times\frac{2n}{2n+1}
\]
两边同时乘\(In\),得：
\[In^2<(\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}......\times\frac{2n-1}{2n})\times(\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}......\times\frac{2n}{2n+1})
\]
两边同时开根，不等式成立。
（本题为某高考压轴题的一问，入门级别，十分的简单）
这道题只是糖水不等式简单的应用，大家可自行深究，这里不再赘述。