infinite数论 进化史approximation

开发者朋友们大家好： 这里是「RTE 开发者日报」，每天和大家一起看新闻、聊八卦。我们的社区编辑团队会整理分享 RTE （Real Time Engagement） 领域内「有话题的新闻」、「有态度的观点」、「有意思的数据」、「有思考的文章」、「有看点的会议」，但内容仅代表编辑的个人观点，欢迎大家留 ......

（不全，会一种就更一种...） \(1、Cayley-Hamilton\) 定理 **\(Cayley-Hamilton\) 定理： ** 设 \(A\) 是环 \(R\) 上的 \(n \times n\) 矩阵，记 \(f(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 为其特 ......

数论——集合符号大全 \(\mathbb N\)：自然数集合 \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\) \(\mathbb N^*\) 或 \(\mathbb N^+\)：正整数集合 \(\{1, 2, 3, \dots\}\) \(\mathbb Z\)：整数集合 \(\{\dots, ......

什么是索引？ 在关系数据库中，索引是一种数据结构，他将数据提前按照一定的规则进行排序和组织，能够帮助快速定位到数据记录的数据，加快数据库表中数据的查找和访问速度。 像书籍的目录、文件夹、标签 、房号... 都可以帮助我们快速定位，都可以视为索引。 能实现快速定位数据的一种存储结构，其设计思想是以空间 ......

数论——欧拉函数、欧拉定理、费马小定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = ......

数论——欧拉函数、欧拉定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = 1}^n [ ......

数论——线性同余方程、乘法逆元 众所周知： 说明 除非特殊说明，以下提到的 exgcd 函数均定义为： // ax + by = gcd(a, b) ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll d = 0) { if (b == 0) x = 1, y = 0, d ......

回顾:FFT FFT（快速傅立叶变换）学习 - Isakovsky - 博客园 (cnblogs.com) 目的:将多项式的系数表示法形式转换为点值表示法形式,或者说,快速计算出多项式在若干个点上的值. 中心思想:适当地选取自变量,使得自变量两两互为相反数,求出的多项式值可重复利用,减少运算次数 例 ......

数论——欧几里得算法和扩展欧几里得算法 引入 最大公约数 最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。 一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数； 一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。 最 ......

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在系数均为整数的时候，可以用NTT代替FFT，这样不会出现精度问题。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long lld; const int N = 20000005; const lld g = 3, mod = ......

快速幂 定义 快速幂，是一个在 \(\Theta(\log n)\) 的时间内计算 \(a^n\) 的小技巧，而暴力的计算需要 \(\Theta(n)\) 的时间。 解释 \[\because a^{b+c}=a^{b} \times a^{c},a^{2b}=a^{b}\times a^{b}=( ......

tax 题目： 小码哥要交税，交的税钱是收入 \(n\) 的最大因子（该最大因子为不等于 \(n\) 的最大因子），但是现在小码哥为了避税，把钱拆成几份（每份至少为 \(2\)），使交税最少，输出税钱。 格式： 输入格式：一个正整数 \(n\) 表示所以的钱数。 输出格式：输出一个正整数，表示税钱。 ......

题面传送门 为什么全场切我不会？为什么全场切我不会？为什么全场切我不会？ 首先因为题目中要求左括号个数，我们就来关注一下左括号。 对于一个左括号，假设它右边是右括号，那么这个左括号就会往右走，否则不会往右走。随便选个左括号开始标号，往左为负，往右为正，设 \(p(k,i)\) 表示第 \(i\) 个 ......

写在开头：word的公式打不上来，只能截图了 一.组合数学 (1) 加法定理与乘法原理 加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。 乘 ......

引入 有 \(n\) 个元素进栈序列为 \(1,2,3,4\dots n\)。求有多少种出栈序列 我们需要确保最后一次操作后，栈中没有元素。因此，共有 \(2n\) 次操作。（每个元素进栈一次，出栈一次） 对于每次操作，如果我们想出栈，则它一定要有数字可以 pop。如果我们把栈抽象成一条链，若第 \ ......

多样性和收敛性是什么？ 多样性：多样性是指在一个系统、模型或者群体中存在的不同类型的元素的数量和种类。在生物学中，多样性可能指的是一个生态系统中的物种多样性；在社会学中，多样性可能指的是一个社区或者组织中的文化、种族、性别等方面的多样性；在计算机科学中，多样性可能指的是解决一个问题的不同方法或者策略 ......

# 数论杂谈 记录一些小小的东西 ## 贝尔数（bell） $Bell(n)$ （$B_n$）表示有 $n$ 个元素的集合划分成若干个互不相交的子集的方案数 $$B_0=1,B_1=1,B_2=2,B_3=5,\dots$$ $$B_0=1,B_{n+1}=\sum_{i=0}^n C_n^i\ti ......

推荐一个react上拉加载更多插件：react-infinite-scroller 在开发网页和移动应用时，经常需要处理大量数据的展示和加载。如果数据量非常大，一次性全部加载可能会导致页面卡顿或崩溃。为了解决这个问题，我们可以使用无限滚动（Infinite Scroll）的技术。React 提供了一 ......

`2023-07-29 16:22:14` # 辗转相除法 (求gcd) 求 $a,b$ 的最大公约数。 假设 $a\ge b$ ，令 $gcd(a,b)=d$（下文都这样表示）。 那么设 $a=k_1d$,$b=k_2d$，则 $a\mod b =(k_1-rk_2)d$，当 $k1-rk2>0$ ......

在开发网页和移动应用时，经常需要处理大量数据的展示和加载。如果数据量非常大，一次性全部加载可能会导致页面卡顿或崩溃。为了解决这个问题，我们可以使用无限滚动（Infinite Scroll）的技术。React 提供了一个方便的组件库，即 react-infinite-scroller，它可以帮助我们实 ......

# 莫比乌斯反演 ## 定义 先讲讲莫比乌斯函数的定义： $\mu(x) =\begin{cases} 1 &n=1 \\ 0 &n含有平方因子 \\ (-1)^k &k为n的本质不同质因子个数 \end{cases}$ 我们对 $n$ 进行质因数分解， $n= \prod_{i=1}^k p_i^ ......

# 一、质数 ### 1.质数的定义： 如果一个正整数无法被除了1和它本身以外的任何自然数整除，那么这个数是质数。否则，这个数是合数。 需要注意的是，1既不是质数也不是合数。 ### 2.埃筛： 2.埃筛： 问题：给定一个正整数 $n$ ，找到$1\sim n$中的所有质数。 思路：我们可以从 $2 ......

对于任意奇质数 $p$，对于任意整数 $k < p-1$，有 $ p|\sum_{i=1}^{p-1}i^k$ 证明： 取 $p$ 的原根 $g$，由简化剩余系的性质知： 在 $\mod p$ 意义下，有 $$ \{g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = \{1, 2, \cdots, p ......

屏膜手机的问世，好似能加快科技研发进度的一线契机。 那么问题来了？ 屏膜手机具体有何特点？ 众所周知，好像没有实际用处。 优势：屏膜手机，或许也只有便捷、方便使用上的等等好处。 问题一：屏膜手机中的技术，究竟能用在何等科技领域当中？ 抛砖引玉一个概念：莫要将技术只限于某种物品狭隘理解之上。 设想成品 ......

# 数论 ### 模运算 > $a\%b = a-b*floor(\frac ab)$ 费马小定理 $a^{p-1} \% p=1$ ### 最小公倍数&最大公约数 (a,b)表示最大公约数 [a,b]表示最小公倍数 $(a,b)*[a,b] = ab$ 辗转相除 ```c if (a % b==0 ......

题意：很简单，给你l，r，让你输出对于这个区间中任意两个不同的数字的gcd组成的set的大小是多大。至于题面，我只能说，聪明人早就看出来那些图啊边啊啥的都是唬人的。 做法：显然我们是要去枚举的，但是我们不能去枚举选的那两个数字。所以我们选择枚举gcd有哪些。这些gcd又分两种： 第一种，假如一个数字 ......

**题目大意：** *** ```cpp #include using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; ll n; ll lcm(ll x,ll y){ return x/__gcd(x,y)*y; } int mai ......

统一“顶设”的智能媒体服务。 邹娟｜演讲者 大家好，首先欢迎各位来到LVS的阿里云专场，我是来自阿里云视频云的邹娟。我本次分享的主题为《从规模化到全智能：智能媒体服务的重组与进化》。 本次分享分为以上四部分，一是媒体服务（Mediaservices）面临的技术难题；二是如何使用统一“顶设”进行媒体服 ......

# 前言 前段时间在补提高大纲，补完之后这篇博客用来记录梳理复盘提高大纲里数论的一些知识点，有错误欢迎批判捏。 # 欧拉函数 ## 定义 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 中与 $n$ 互质的数的个数，即 $\varphi(n)= \sum ^n _{d=1} [\gcd(d,n)=1 ......