数论

# 前言 前段时间在补提高大纲，补完之后这篇博客用来记录梳理复盘提高大纲里数论的一些知识点，有错误欢迎批判捏。 # 欧拉函数 ## 定义 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 中与 $n$ 互质的数的个数，即 $\varphi(n)= \sum ^n _{d=1} [\gcd(d,n)=1 ......

**题目大意：** 求有多少$x(1\le l\le x\le r\le 10^{18})$满足$(x\mod a)\mod b\neq(x\mod b)\mod a(1\le a,b\le 200)$，有$q(1\le q\le 500)$次询问。 *** 设答案为$f(l,r)$，考虑前缀和$f ......

**题目大意：** 给出一个数的所有因数（除了$1$和这个数本身），判断这个数是否存在。 *** 先将所有因数排序，然后计算最小因数和最大因数的积，我们设这个数为$x$。 如果$x$满足了以下的任意一个条件，则答案为不存在： 1. 存在一个$k$，第$k$大的数和第$k$小的数之积不等于$x$。 2 ......

质数： 在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数 合数：在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数 约数（因数） ：能够将一个数整除的数 质因数：能够将一个数整除的质数 互质：公约数只有1的两个整数 ## 质数 质数：在大于1的整数中，如果只包含1和本 ......

## 简述 整除分块这个东西听起来不是很抽象，但是我理解起来的确有点抽象（可能因为我太菜了吧）。那就先放张图： ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/2680753/202308/2680753-20230826212344938-943289322.p ......

[题目链接](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/53079) # 题目 **题目描述** ​ Forsaken有一个有趣的数论函数。对于任意一个数 $x$ ， $f(x)$ 会返回 $x$ 的最小质因子。如果这个数没有最小质因子，那么就返回0。 ​ 现在给定任意 ......

#数论-同余与扩展欧几里得详解(附例题及代码) 注意:这篇文章的信息量会有一点多，请耐心看完 ##一.同余 ###1.1 同余的定义 给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m) 简单来说，对于x,y ......

## 友情提示 - 本博客内部分内容因缺乏样例，可能晦涩难懂，建议参考蓝书或者[数论小白都能看懂的线性方程组及其解法](https://www.luogu.com.cn/blog/ShineEternal/linear-equation-group)。 ## 线性方程组 - 线性方程组是由 $M$ ......

# 林学长讲课笔记 ## 极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 考虑运算法则： - 一般来说，函数的和差商积的极限等于函数的极限的和差商积。 但是例外： $$ \lim_{x \to 3} \frac {x - 3}{x^2 - 9} $$ 考虑极限约去 $x - 3$ 得到： $$ ......

- 同余 - 若整数 $a$ 和整数 $b$ 除以正整数 $m$ 的余数相等，则称 $a,b$ 模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b \pmod{p}$ 。 - 性质 - 自反性： $a \equiv a \pmod{p}$ - 对称性：若 $a \equiv b \pmod{p}$ ，则 ......

- 质数的个数是无限的。 - 试除法：若一个正整数 $N$ 为合数，则存在一个能整除 $N$ 的数 $T$ ，其中 $2 \le T \le \sqrt{N}$ 。 - 时间复杂度为 $O(\sqrt{N})$ 。 - 代码实现 ```cpp bool isprime(int n) { if (n ......

[luogu P1226 【模板】快速幂 | 取余运算](https://www.luogu.com.cn/problem/P1226) ```cpp #include using namespace std; #define ll long long #define sort stable_sor ......

- 一个整数 $N$ 的约数上界为 $2\sqrt{N}$ 。 - $1 \sim N$ 每个数的约数个数的总和大约为 $N \times logN$ 。 - 取模运算性质 - $(a+b) \bmod p=((a \bmod p)+(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 - $(a ......

# 数论基本知识 ## 裴蜀定理 不定方程$a\cdot x+b\cdot y=c$有解当且仅当$c$是$\operatorname{gcd}(a,b)$的倍数。 **证明**： $$ \begin{aligned} &设集合S=\left\{ \left\vert \mu\cdot a+\nu\c ......

# 逻辑 ### 1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$p\Rightarrow q$ 且 $q\not\Rightarrow p$。 $p$ 是 ......

# 1. 扩展欧几里得算法 ## 1.1. 介绍 扩展欧几里得算法用于求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解（整数解）。 推导如下： 设 $\begin{cases}ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)\end{ca ......

小凯的疑惑 题面：Link 分析: 题意简述：给定两个互质的正整数$x,y$，求最大不能被表示成$ax+by$的数（$a,b$满足 $0 \le a,b$ 且为整数） 不妨设$x<y$ ,答案为$ans$ 如果： $ ans \equiv mx(mod\,y) (1 \le m \le y-1)$ ......

- ### 容斥原理 - $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ - $|\displaystyle \cup_{i=1}^n A_i |=\sum_{i}|A_i|-\sum_{i,j} ......

#### 整除分块 例题：[UVA11526 H(n)](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11526) 复杂度保证： $$ \forall n \in\mathbb{N_+},|\{ \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rflo ......

## 1.基础 ### 数论函数 + 定义: 数论函数,就是值域为整数(陪域为复数)的函数 ### 狄利克雷卷积 两个**数论函数**的**狄利克雷卷积**是一个新的函数 比如 $f(n)$,$g(n)$ 它们的卷积就是 $f * g$ 怎么卷呢？ 定义: $\large{(f*g)(n)=\sum ......

### 1.[P1447](https://www.luogu.com.cn/problem/P1447) 题意：求 $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m2\times (i,j)-1$$ 思考：原式等价于$2\sum\limits_{i=1}^n\sum ......

本文主要记录自己学习 OI 时用到的数论知识，内容偏进阶。 因为近期其实不太会用到多么高深的数论知识，所以很多内容是空中楼阁，是照抄 OI Wiki 而缺乏自己的理解，这些都等需要的时候慢慢补。这次写笔记主要在于建立起知识体系，知道有哪些东西要掌握。 那么开始。 ## 数论分块 基本的思想是集合 $ ......

参考博客： http://www.matrix67.com/blog/archives/234 https://www.cnblogs.com/1024th/p/11349355.html https://zhuanlan.zhihu.com/p/267884783 ## 素数的分布： ``` 10 ......

# 前言 开个大坑。 # 正文 ## 最大公约数 - 取模运算性质 - $(a+b) \bmod p=((a \bmod p)+(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 - $(a-b) \bmod p=((a \bmod p)-(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 ......

Problem - E2 - Codeforces 给一个区间[L,R]，询问有多少三元组(i,j,k)满足L=<i<j<k<=r且lcm(i,j,k)>=i+j+k. 正难则反。我们可以考虑它的补集。 lcm<i+j+k,然后是i+j+k<3*k 所以lcm<3k,又因为k是lcm的因数，所以lc ......

#数论分块学习 ##用途 快速计算含有$\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$的和式（$i$为变量） ##引理 ###引理1 $$ \forall a,b,c\in \mathbb{N_+},\quad \Big\lfloor \frac{a}{bc}\Big\rfloor=\bi ......

# 定义1.1整除 $a$整除$b$记为$a|b$ $a|b$指$\exists n\in \mathbb{Z},使得b=an$ # 定义1.2 - 1.整除的传递性：$a|b,b|c\Rightarrow a|c$ - 2.整除的可加性：$n|a,n|b\Rightarrow n|a\pm b$ ......

# 数论全家桶 [toc] ### 欧拉定理 1.结论 $$ ∀a,m∈Z且gcd(a,m)=1，a^{\varphi(m)}\equiv1\ (mod\ m) $$ 欧拉定理的一个常见用法是对指数降幂。 应用当mod数质数时，有 $$ a^b \equiv a^{bmod\phi(m)} (mod ......

- ### 欧拉函数 - 欧拉函数$\varphi(N)$ : 1-N中与N互质的数的个数 - 若$N = p_1^{a_1} · p_2^{a_2} · p_3^{a_3} ··· ·p_n^{a_n}$ 其中p为N的所有质因子 - 则$\varphi(N) = N(1-\frac{1}{p_1} ......

## 二项式定理 $$ (x+y)^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k} y^{n-k} $$ ## 二项式反演 $$ f_{n}=\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}g_{i} \Leftrightarrow g_{n}=\sum_{i=0 ......