设\(F(x)=\ln x+x^a-e^a,a\neq 0,x>0\)
1.设\(F(x)\)有唯一零点\(x_0,x_0>1,\)证明\(x_0\)随着\(a\)的增大而增大
\(F'(x)=\frac{1}{x}+ax^{a-1}\)当\(F'(x)>0\)，\(G(x)=1+ax^a>0\)
\(G'(x)=a^2x^{a-1}\)，因为\(a^2>0,x>0\),\(G\)单调递增。
当\(a>0,G(x)>0\)，所以\(F'(x)>0\)，\(F(x)\)单调递增。
\(x_0>1\)，所以\(F(1)<0,1>e^a,a<0,\)矛盾
当\(a<0,G(x)>0 \to \frac{1}{x^{-a}}<\frac{1}{-a},-a<x^{-a},\sqrt[-a]{-a}<x\)
所以\(F(x)\)在\((0,\sqrt[-a]{-a})\)递减，在\((\sqrt[-a]{-a},\inf)\)
一道导数
发布时间 2023-10-19 09:00:34作者: celerity1