常用的两个放缩应用，结构很明显
已知函数\(f(x)=\sin x\)
\((1)\) 设\(F(x)=f(x)-mx,\)若\(F(x)\leq 0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求实数\(m\)的取值范围
\((2)\) 设\(G(x)=\dfrac{2}{3}f(x)+x-\dfrac{5}{3}a\ln x+2\)若存在\(x_1,x_2(x_1\neq x_2)\)满足\(G(x_1)=G(x_2)\)，证明:\(x_1+x_2>2a\)
\((1)\) \(F(x)=\sin x-mx,F^{\prime}(x)=\cos x-m\)
若\(m\geq 1\)，则\(F^{\prime}(x)\leq 0\)，从而\(F(x)\)单调递减
则\(F(x)\leq F(0)=0\)合题
若\(m<1\)，则\(F^{\prime}(0)=1-m>0\)，则由保号性，一定存在区间\((0,x_0)\)
\(F^{\prime}(x)>0\)，从而在这个区间上\(F(x)>F(0)=0\)不合题
\((2)\) 不妨设\(x_1<x_2\)
\(G(x)=\dfrac{2}{3}\sin x+x-\dfrac{5}{3}a\ln x+2\)
\(\dfrac{2}{3}\sin x_1+x_1-\dfrac{5}{3}a\ln x_1+2=\dfrac{2}{3}\sin x_2+x_2-\dfrac{5}{3}a\ln x_2+2\)
即\(\dfrac{2}{3}\left(\sin x_1-\sin x_2\right)+(x_1-x_2)=\dfrac{5a}{3}\left(\ln x_1-\ln x_2\right)\)
即\(2(\sin x_1-\sin x_2)+3(x_1-x_2)=5a(\ln x_1-\ln x_2)\)
由\((1)\) 得\(m=1\)时，有\(\sin x-x\)单调递减
则\(\sin x_1-x_1>\sin x_2-x_2\)
即\(\sin x_1-\sin x_2>x_1-x_2\)
则\(5a(\ln x_1-\ln x_2)>2(x_1-x_2)+3(x_1-x_2)=5(x_1-x_2)\)
即\(\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-x_2}>a\)
又由对数均值不等式有
\(\dfrac{a+b}{2}>\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}\)
从而\(a<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}\)
即\(x_1+x_2>2a\)
得证！