导数 一道

常用的两个放缩应用，结构很明显 已知函数\(f(x)=\sin x\) \((1)\) 设\(F(x)=f(x)-mx,\)若\(F(x)\leq 0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求实数\(m\)的取值范围 \((2)\) 设\(G(x)=\dfrac{2}{3}f(x)+x-\df ......

数学分析味道很浓的一道题，可以当作找点问题的典型. 已知函数\(f(x)=e^x-ax^2-\cos x-\ln(x+1)\) \((1)\) 若\(a=1\)，求证：\(f(x)\)的图像与\(x\)轴相切与原点 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在区间\((-1,0),(0,+\infty) ......

1、概念解释 （1）关于求导 求导是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算函数在某一点处的变化率（斜率），以及函数的最大值、最小值等。 对于一个函数y=f(x)，它在某一点x₀处的导数（即斜率）定义为： f'(x₀) = lim (h→0) [f(x₀+h) - f(x₀)] / h 其中lim表示 ......

Top100题 散列 1. 两数之和 struct MyListNode { int val; int pos; struct MyListNode *next; }; // 散列表 typedef struct { struct MyListNode *data; } MyHashMap; con ......

原题： ......

遇到的最难的一个找点问题 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若关于\(x\)的方程\(f(x)=a\)有两个实数解，求\(a\)的最大整数解. \((1)\) \(f(x)=\ln x-\dfra ......

切线放缩辅助分析 设\(f(x)=ax-(a+1)\ln x-\dfrac{1}{x},a>0\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 设\(g(x)=x^2e^{2x}-f(x)\)，若关于\(x\)的不等式\(g(x)\geq ax+(a+3)\ln x+\dfrac{ ......

同构问题，越复杂越有思路 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\) 当\(a=2\)求\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 若\(f(x)\leq \dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)取值范围. \((1)\) \(a=2,f( ......

\(\ln x<x-1\)放缩应用 已知函数\(f(x)=mx-\ln x-1\) \((1)\) 讨论函数的单调性 \((2)\) 若不等式\(e^{x-1}+a\ln x-(a+1)x+a\geq 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)=m-\d ......

\(\ln x<\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right),\ln x>\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\)放缩 已知函数\(f(x)=e^{\frac{1}{x}-a}+\ln x-a\)有两个零点\(x_1,x_2 ......

今天上午考试考了这道题，但是好巧不巧自己没看具体的证明过程（可能因为自己忽略了这个部分吧）...（有关这道题当时的证明过程，我就记得了\(E(\overline{X})=\mu, D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}\)，别的都不记得了...）考场直接破大防了.. ......

简单的零点分析 已知\(f(x)=ae^x-\sin x-1\) \((1)\) 当\(a=1\)证明：\(\forall x\in[0,+\infty),f(x)\geq 0\) \((2)\) 若\(f(x)\)在区间\(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)上存在极值， ......

隐藏的极值点偏移 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x-a\ln(x+1)\) \((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)当\(a>0\)时，若\(m\)为函数的正零点，证明：\(m>2\sqrt{a+1}\) 解 \((1)\)由题得\(x>-1\) \(f ......

伯努利不等式应用 已知函数\(f(x)=(1+x)^m-mx-1,x>-1,m>0\)且\(m\neq 1\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)单调性 \((2)\) 若\(\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\p ......

简单构造，考察眼睛 x^2-a\ln x+(1-a)x+1$ \((1)\) 讨论函数的单调性 \((2)\) 当\(a=1\)时，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\) 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{a ......

一道丑陋的放缩 已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\lambda x+\dfrac{x2}{2}(x>0)$ \((1)\) 若$f(x)>0$求$\lambda$的取值范围 $(2)$证明：\(2\ln(n+1)-\dfrac{33}{20}<\displaystyle\sum\limits_ ......

说到try...catch都觉得非常熟悉了，不就是用来捕捉代码块中的错误嘛，平时也用得比较多的。然而因为了解不够多，我的面试却栽在了一个简单的知识点上：try...catch只能捕捉到同步执行代码块中的错误。 题目是：以下代码有错吗？如果有错，应该如何改正？ try { setTimeout(() ......

一、题目描述 把文件下载下来，运行后发现是一个简单的小游戏，属于那种玩通关了就给 flag 的，自己先玩了一下，玩了一下大概游戏规则就是看到 s 就按空格，遇到 x 就按x，遇到 m 就按m，但是玩到后面速度非常快，如果你足够厉害,玩到后面应该是可以玩出来的。这里我们就要IDA进行静态分析，又是小游 ......

重要放缩与观察配凑数列 函数\(f(x)=a\ln x+\dfrac{1}{2}x^2-(a+1)x+\dfrac{3}{2}(a>0)\) \((1)\)求函数单调区间 \((2)\)当\(a=1\)时，\(f(x_1)+f(x_2)=0\)证明：\(x_1+x_2\geq 2\) \((3)\) ......

misc-gif: 题目描述：附件下载下来后发现是一张.gif的动图 解题方法：仔细观察发现这张动图里面有黑色的字母在闪烁，猜测它的flag信息可能就隐藏在里面： 编写python脚本来将它逐帧分离： from PIL import Image im = Image.open(r'D:\桌面/fla ......

很难的放缩：对数均值不等式 已知函数\(f(x)=-2x-2\sin x+2m\ln x,m>0\)若存在\(f(x_1)=f(x_2)(x_1\neq x_2)\) \((1)\)判断\(2(x-\sin x)\)的单调性 \((2)\)证明:\(x_1+x_2>1+\ln m\) 解 \((1) ......

ISCTF-misc-LSB: 题目描述：这是一道ISCTF2022上面misc里面一道图片隐写题，而且出题人还给了提示，hint:注意大小端问题 题目附件下载下来是一张png的图片： 第一步：将图片放进010_editor里面查看一下它的16进制： 在数据底部发现了一个zip的压缩包，而且压缩包里 ......

第三次周赛题解 A.前缀和 观察题 cao 分奇偶 注意观察 奇数() 只有第一个和第二个会是奇数 后面全是前面累乘2 if(x%2!=0) x要么是第一个要么是第二个(无区别)因为1，2元素大小相等 剩下元素a[n]=pow(2,n-2)*x; else 不是奇数化为奇数 ll q=x;//保存一 ......

含参问题常用三种思想 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x+1\)，若\(x\in(1,+\infty)\)时，\(f(x)>0\),求\(a\)的取值范围 解 法一：直接讨论 \(f^{\prime}(x)=a(\ln x+1)-1\)，\(f^{\prime}(x)\)为增函数，并且\(f^ ......

107 导数与微分 内容：\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\) \(\newcommand{\bs}{\backslash}\) \(\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\) \(\newcommand{\d}{\mathrm{d}}\) \(\ne ......

放缩与必要性探路(端点效应) 已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+(b-1)x+a\)在\(x=0\)处的切线与\(y\)轴垂直. 证明：\(\forall x\in[0,+\infty)\)，不等式\(2[e^xf(x)-\cos x]>\ln(1+x)\)恒成立，求实数\( ......

极值点偏移:对数均值不等式 已知\(a\in\mathbb{R}\),函数\(f(x)=\dfrac{a}{x}+\ln x,g(x)=ax-\ln x-2\).若\(f(x_1)=f(x_2)=2(x_1\neq x_2)\) (1)求出\(a\)的取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{x ......

越复杂越简单，构造问题 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\)当\(a=2\)时，求\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若\(f(x)\leq\dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) \(a=2,f ......

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一道常规的求参 已知函数\(f(x)=e^x-1\) \((1)\) 若\(g(x)=f(x)-ax\),讨论\(g(x)\)的单调性 \((2)\)当\(x>0\)时，都有\((x-k-1)f(x)+x+1>0\)成立，求整数\(k\)的最大值 解 \((1)\) \(g(x)=e^x-1-ax\ ......