放缩与必要性探路(端点效应)
已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+(b-1)x+a\)在\(x=0\)处的切线与\(y\)轴垂直.
证明：\(\forall x\in[0,+\infty)\)，不等式\(2[e^xf(x)-\cos x]>\ln(1+x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围.
解
由题得\(b=1\)，则\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+a\)
原不等式\(2(-x^2+ae^x-\cos x)>\ln(1+x)\)恒成立
要使得原不等式恒成立，则必须有
\(2(-x^2+ae^x-1)>\ln(1+x)\)
若\(a\leq 0\)则不合题意
若\(a>0\)则原不不等式为\(2(-x^2+ae^x-1)-\ln(1+x)>0\)
因\(\ln(1+x)<x\)
则有\(2(-x^2+ae^x-1)-x>0\)
记\(g(x)=2(-x^2+ae^x-1)-x\)
若\(a\leq 1\)则\(g(0)=2(a-1)\leq 0\)不合题
现说明\(a>1\)是所求答案
\(g^{\prime}(x)=2(-2x+ae^x)-1\),\(g^{\prime\prime}(x)=2(-2+ae^x)\)
则\(g^{\prime}(x)>g^{\prime}\left(\ln\dfrac{2}{a}\right)=2\left(-2\ln\dfrac{2}{a}+2\right)-1=3-4\ln\dfrac{2}{a}>0\)
从而\(g(x)>g(0)=2(a-1)>0\)
综上：\(a>1\)