- 微积分的核心：近似（用简单的模型近似代替复杂的模型）、逼近、比较。\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\bs}{\backslash}\)
101 从自然数到实数
\(\N, \Z, \Q\) 期中考试不考（存疑）。
自然数
定义
自然数集 \(\N\) 是这样一个集合：
存在 \(0\in \N\) 和 单射 \(S : \N\to \N\bs\{0\} \eqqcolon \N ^ *\)。单射：\(S(i) = S(j) \implies i = j\)。
\(\N\) 满足 数学归纳法原理：对 \(\N\) 的任意子集 \(A\)，
\[\begin{cases} 0\in A, \\ n\in A\implies S(n)\in A \end{cases} \implies A = \N. \]称 \(S(n)\) 为 \(n\) 的 后继。
上述定义定义了自然数集而非自然数，自然数集内的元素称为自然数。
上述定义提取了自然数集最本质的特征，其中第二条也称为 归纳公理。
*为什么归纳公理是必要的：如果不承认归纳公理，仅凭第一条定义无法推出归纳公理，从而数学归纳法无法使用。
-
一些想法（不一定严谨）：如果不承认归纳公理，那么对 \(\N\) 的任意子集 \(A\)，\(0\in A\) 且 \(n\in A\implies S(n)\in A\) 给出了一个单射 \(S' : A\to A\bs \{0\}\)，恰好能说明 \(A = \N\)。
问题在于（感谢 chenxia25 的解答）：这样虽然能说明 \(A\) 符合自然数集的定义，但无法说明 \(A\) 等于当前的 \(\N\)，因为定义不保证自然数集唯一。只要在第一条性质的基础上加入公理 —— \(\N\) 唯一，就可以使用数学归纳法了。
归纳公理保证了 \(\N\) 唯一。然而 \(\N\) 唯一用严格的数学语言表述似乎回到了归纳公理的形式。
归纳公理是如何保证 \(\N\) 唯一的呢？假设有两个不同的自然数集 \(\N\) 和 \(\N'\)，构造双射 \(f : \N\to \N'\) 满足 \(f(0) = 0'\) 且 \(f(S(n)) = f(S'(n'))\)。根据归纳公理可知对任意 \(n\in \N\) 都有 \(f(n) = n'\) 且对任意 \(n\in \N'\) 都有 \(f(n') = n\)。因此 \(\N\) 和 \(\N'\) 的对应元素相等，\(\N = \N'\)。证明过程中用到了归纳公理，所以用这种方式证明 \(A = \N\) 是行不通的。
定理
后继映射是 一一对应（前驱存在）：\(S\) 是单射，也是满射。满射：对任意 \(i'\in \N ^ *\)，存在 \(i\in \N\) 使得 \(S(i) = i'\)。
证明：设 \(A \coloneqq \{0\} \cup S(\N)\)，则
- \(0\in A\)。
- 若 \(n\in A\)，则 \(n\in \N\)，因此 \(S(n)\in S(\N)\subset A\)。
根据数学归纳法原理，\(A = \N\)。而 \(0\notin S(\N)\)，所以 \(S(\N) = A\backslash \{0\} = \N\backslash \{0\} = N ^ *\)。
\(\square\)
这部分对做第四次作业没有帮助，先咕着。
102 初等函数与简易逻辑
103 连续与极限
内容：
- 函数连续性的概念与性质。
- 函数在一点处的极限与单侧极限。
- 间断点分类。
连续的概念
定义
称函数 \(f: I\to \R\) 在 \(x_0\in I\) 处 连续，指：\(\forall \eps > 0\)，\(\exist \delta > 0\) 使得 \(\forall x\in I\)，\(|x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \eps\)。
称 \(f\) 在 \(A\) 上连续，指 \(f\) 在每个 \(x_0\in A\) 处连续。
称 \(f\) 是连续函数，指 \(f\) 在 \(I\) 上连续。
基本想法：自变量的小误差不会引起函数值的剧烈变化。将基本想法量化，希望当自变量的误差（用绝对值衡量）足够小时，函数值的误差也足够小。“任意小” 如何衡量？任意小就是 “想要多小有多小”。目标是 “函数值的误差任意小”，那么任给一个函数值的非零误差，都要有自变量的非零误差，使得误差范围内所有（而不是存在）自变量的函数值的误差也符合要求。
-
前提条件：\(f\) 在 \(x_0\) 处有定义（\(x_0\in I\)，用到了 \(f(x_0)\)），否则无法衡量函数值的误差。
-
\(\forall \eps > 0\)，对于 \(\eps_1 > \eps_2\)，\(|x - x_0| < \delta\implies |f(x) - f(x_0)| < \eps_2 < \eps_1\)。如果较小的 \(\eps\) 满足条件（\(\exist \delta > 0\) 使得 ……），那么较大的 \(\eps\) 一定满足条件。因此 \(\eps\) 是不断 变小 的 动态行为，\(\delta\) 要配合 \(\eps\)。
- 对于一个 “任意正数”，如果它出现在不等式较大的一侧做限制，那么它描述的是任意小。如果它出现在不等式较小的一侧做限制，那么它描述的是任意大。
-
连续描述的是函数在一个点处的 局部性质：局部函数值接近 \(f(x_0)\)。这里的 “局部” 不是固定的范围，而是一个 任意小但没有小到只剩一个点 的范围。
-
因为 \(\delta\) 的出现在 \(\eps\) 和 \(x_0\) 之后（和 \(\eps\) 一起描述了 \(x_0\) 的局部性质），所以 \(\delta\) 通常与 \(\eps\) 和 \(x_0\) 有关（\(x ^ 2\)）。与 \(x_0\) 无关的连续（\(\sqrt x\)）更强，称为 一致连续。
真正有价值的性质对一部分对象成立，另一部分不成立。
例 \(1\)
证明常值函数是连续函数。
显然。
例 \(2\)
证明绝对值函数是连续函数。
证明：
根据绝对值的三角形不等式，\(|x| - |x_0| \leq |x - x_0|\) 且 \(|x_0| - |x| \leq |x - x_0|\)。
因此 \(||x| - |x_0|| \leq |x - x_0|\)。
\(\forall\eps > 0\)，当 \(|x - x_0| < \eps\) 时，\(|f(x) - f(x_0)| = ||x| - |x_0|| < \eps\)。\(\square\)
学会画图是理解数学的重要方式：可以受图像启发得到证明，但图像无法代替严格的证明。
- 一个重要的关于绝对值的不等式：\(|a\pm b| \geq |a| - |b|\)，因为三角形不等式 \(|a - (\pm b)| + |b| \geq |a|\)。
例 \(3\)
证明 \(\sqrt x\) 在 \([0, +\infty)\) 上连续。
证明：\(\forall x_0 > 0\)，\(\forall \eps > 0\)，若 \(x_0 + h \geq 0\)，则
\[\begin{aligned} & |\sqrt {x_0 + h} - \sqrt {x_0}| \\ = \; & \sqrt{|\sqrt {x_0 + h} - \sqrt {x_0}||\sqrt {x_0 + h} - \sqrt {x_0}|} \\ \leq \; & \sqrt{|\sqrt {x_0 + h} - \sqrt {x_0}||\sqrt {x_0 + h} + \sqrt {x_0}|} \\ = \; & \sqrt{|h|} \\ < \; & \eps \end{aligned} \]因此，当 \(\sqrt {|h|} < \eps\)，即 \(|h| < \eps ^ 2\) 时，\(|f(x_0 + h) - f(x_0)| < \eps\)，即 \(\delta = \eps ^ 2\)。\(\square\)
证明连续的主要目的是使得蕴涵关系成立。
我们的目标是从 \(|f(x_0 + h) - f(x_0)| < \eps\) 得到关于 \(|h|\) 的不等式，使得最终的不等式成立是原不等式成立的 充分条件，并非充要条件。这意味着在变形时允许对不等式左侧进行放大：令放大后左侧形式较好的式子小于 \(\eps\)，解得关于 \(|h|\) 的不等式，那么放大后左侧的式子小于 \(\eps\)，自然有放大前左侧的式子小于 \(\eps\)。证明连续不是解不等式，而是找使得不等式成立的充分条件。这给了我们将不等式左侧自由放大的空间，并 可以在放大的过程中对 \(|h|\) 提出一定要求（形如 \(|h|\) 小于正的常值或正的变量）：只需将最终的结果与所有要求取交（相当于上界取 \(\min\)）即可。
例 \(4\)
证明 \(x ^ 2\) 是连续函数。
证明：首先对不等式左侧变形：
\[\begin{aligned} & |(x_0 + h) ^ 2 - x_0| \\ = \; & |2x_0h + h ^ 2| \\ \leq \; & 2|x_0||h| + |h| ^ 2 \\ \leq \; & (2|x_0| + 1) |h| & (|h| < 1) \\ < \; & \eps \end{aligned} \]最后一步变形是为了将二次式化为一次式，更方便求解。可以限制 \(|h| < 1\) 使得这一步变形成立。
因此，\(\forall \eps > 0\)，当 \(|h| < \frac {\eps}{2|x_0| + 1 + \eps} \eqqcolon \delta(\eps, x_0)\) 时（分母加 \(\eps\) 是为了保证 \(|h| < 1\)），\(|(x_0 + h) ^ 2 - x_0 ^ 2| < \eps\)。\(\square\)
在证明 \(\sqrt x\) 是连续函数时，最终的 \(\delta\) 与 \(x_0\) 无关。这说明 \(\sqrt x\) 是一致连续的。但 \(x ^ 2\) 的 \(\delta\) 与 \(x_0\) 有关，这是否说明 \(x ^ 2\) 不是一致连续？由于 \(|(n + \frac 1 n) ^ 2 - n ^ 2| = |2 + \frac 1 {n ^ 2}| > 2\)，所以对 \(\eps = 2\)，\(\delta(2, n) < \frac 1 n\)，即随着 \(x_0\) 增大，\(\delta(2, x_0)\) 会变得任意小。不存在一个 \(\delta'\) 使得任意 \(\delta(2, n)\geq \delta'\)：自然数在 \(\R\) 没有上界。因此 \(x ^ 2\) 在 \(\R\) 上不是一致连续的（直观理解：随着抛物线远离对称轴，它会变得越来越陡峭）。但它在任意有界区间上是一致连续的：令 \(M\) 为 \(x_0\) 的界，将 \(M\) 带入 \(\frac {\eps}{2|x_0| + 1 + \eps}\) 即可。
例 \(5\)
证明 \(\frac 1 x\) 在 \(\R\bs \{0\}\) 上连续。
证明：\(\forall x_0\neq 0\)，\(\forall \eps > 0\)，
\[\begin{aligned} & \left|\frac 1 {x_0 + h} - \frac 1 {x_0} \right| \\ = \; & \frac {|h|} {|x_0||x_0 + h|} \\ \leq \; & \frac {|h|} {|x_0|(|x_0| - |h|)} & (|h| < |x_0|) \\ < \; & \eps\\ \end{aligned} \]得到 \(|h| < \frac {\eps |x_0| ^ 2} {1 + \eps|x_0|}\)，容易验证 \(|h| < |x_0|\)。\(\square\)
最后一步变形是为了将 \(h\) 的所有出现都写成 \(|h|\)，且方便解不等式。
连续的性质
对于复杂函数，使用定义证明连续性太麻烦了。将复杂函数拆解为简单函数的方法是做复合。
复合函数的连续性定理
若 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续，\(g\) 在 \(y_0\) 处连续且 \(y_0 = f(x_0)\)，那么 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 处连续。
证明：证明很简单：如果 \(x_0\) 局部通过 \(f\) 映射到 \(y_0\) 的局部，而 \(y_0\) 的局部通过 \(g\) 映射到 \(g(y_0)\) 的局部，那么 \(x_0\) 局部就会通过 \(g\circ f\) 映射到 \(g(f(x_0))\) 的局部。
设 \(f\) 的定义域为 \(I\)，\(g\) 的定义域为 \(J\)，那么 \(g\circ f\) 的定义域为 \(K\subseteq I\) 使得 \(\forall x\in K\)，\(f(x) \in J\)
因为 \(g\) 在 \(y_0\) 处连续，所以 \(\forall \eps > 0\)，\(\exist \delta_1 > 0\) 使得 \(\forall y\in J\)，\(|y - y_0| < \delta_1 \implies |g(y) - g(y_0)| < \eps\)。
因为 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续，所以 \(\exist \delta_2 > 0\) 使得 \(\forall x\in K \subseteq I\)，\(|x - x_0| < \delta_2 \implies |f(x) - y_0| < \delta_1\implies |g(f(x)) - g(y_0)| < \eps\)。\(\square\)
复合函数的连续性定理给予我们证明复杂函数连续性的简单方法。
连续函数的四则运算
若 \(f, g\) 在 \(x_0\) 处连续，那么 \(f + g\)，\(f\cdot g\) 在 \(x_0\) 处连续。若 \(g(x_0) \neq 0\)，则还有 \(\frac f g\) 在 \(x_0\) 处连续（否则 \(\frac f g\) 在 \(x_0\) 处无定义）。
证明：加法是容易的，下证乘法：首先写出 \(\forall \eps > 0\)，接下来它不能受到任何限制，否则无法保证任意性。
\(\exist \delta > 0\) 使得 \(|x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \eps' \land |g(x) - g(x_0)| < \eps'\)（只需取两个 \(\delta\) 中较小的一个）。其中 \(\eps'\) 是使得 \(|f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)| < \eps\) 的误差值。
尝试将 \(|f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)|\) 往 \(|f(x) - f(x_0)|\) 和 \(|g(x) - g(x_0)|\) 的方向上凑：
\[\begin{aligned} & |f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)| \\ = \; & |[f(x) - f(x_0)][g(x) - g(x_0)] + f(x_0)[g(x) - g(x_0)] + g(x_0)[f(x) - f(x_0)] | \\ \leq \; & (\eps' + |f(x_0)| + |g(x_0)|) \eps' \\ < \; & \eps \end{aligned} \]一个技巧是根据最终不等式的形式，将 \(\eps'\) 写成关于 \(\eps\) 的多项式。本题即设 \(\eps' = A\eps\)，限制 \(A < 1\) 得到 \((\eps + |f(x_0)| + |g(x_0)|) A\eps < \eps\)，得到 \(A < \frac{1}{|f(x_0)| + |g(x_0)| + \eps + 1}\)（分母加 \(1\) 是为了保证 \(A < 1\)）。
利用复合函数连续性可将 \(\frac f g\) 在 \(x_0\) 处的连续性转化为 \(f \cdot \frac 1 g\) 在 \(x_0\) 处的连续性，而乘积在 \(x_0\) 处的连续性已经被证明了。\(\square\)
104 无穷远，无穷大
105 无穷小，大 O 与小 o
106 深入研究连续性
最听不懂的一集。