114 不定积分的概念与计算
不定积分不是真正意义上的积分，只是求导的逆运算。\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\) \(\newcommand{\bs}{\backslash}\)\(\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\)\(\newcommand{\d}{\mathrm{d}}\) \(\newcommand{\D}{\Delta}\)\(\newcommand{\i} {\mathrm{i}}\)\(\newcommand{\ov}{\overline}\)\(\newcommand{\ud}{\underline}\)\(\newcommand{\scr}{\mathscr}\)\(\newcommand{\bf}{\mathbf}\)
后来 Newton-Leibniz 公式将求导的逆运算和求面积（真正的积分）联系在一起。
内容：
- 不定积分与原函数的概念。
- 不定积分常用计算方法。
- 有理函数不定积分。
- 沿代数曲线的不定积分 Abel 积分。
概念
最基本的微分方程：\(y' = f(x)\)。这就是不定积分。
- Newton：自然的奥秘隐藏在微分方程中。
定义
称 \(F\) 是 \(f\) 在 \(I\subseteq \R\) 上的 原函数，若
\[F'(x) = f(x), \quad \forall x\in I \]函数 \(f\) 在 \(I\subseteq\R\) 上的 不定积分 是 \(f\) 在 \(I\subseteq\R\) 上的全体原函数。记为
\[\int f(x)\d x \]
\(\d x\) 让根据链索法则导出的积分公式的形式很好看。
- 求导和求原函数 \(F(x)\to f(x)\to F(x)\)，微分和积分 \(F(x)\to f(x)\d x \to F(x)\)。
定理
若 \(I\subseteq\R\) 是区间，\(F_1, F_2\) 是 \(f\) 在 \(I\) 上的原函数，则 \(F_1(x) - F_2(x)\) 是常数。
此时 \(\int F(x) \d x = F(x) + C\)，其中 \(F(x)\) 是任意原函数，\(C\) 是任意实数。
只有常函数的导数恒为 \(0\)。
常见函数的原函数
其中双曲正弦 \(\sinh x = \frac {\e ^ x - \e ^ {-x}} 2\)，双曲余弦 \(\cosh x = \frac {\e ^ x + \e ^ {-x}} 2\)（双曲线意义下的三角函数）。
计算
计算积分需要更多经验和观察。
定理（线性性）
若 \(F, G\) 分别是 \(f, g\) 在 \(I\) 上的原函数，则 \(\lambda F + \mu G\) 是 \(\lambda f + \mu g\) 的原函数。
\[\int (\lambda f(x) + \mu g(x)) \d x = \lambda \int f(x) \d x + \mu \int g(x) \d x \]特殊规定
\[0\int f(x) \d x = C \]
例 \(1\)
\[\int \frac {1} {(x - a) (x - b)} \d x \]解：
\[\begin{aligned} & \int \frac {1} {(x - a) (x - b)} \d x \\ = \; & \int \frac {1} {a - b} \left[\frac {1} {x - a} - \frac 1 {x - b} \right]\d x \\ = \; & \frac {1} {a - b} \left[\ln \abs {x - a} - \ln \abs {x - b}\right] + C \end{aligned} \]
将二次式化为一次式。
例 \(2\)
\[\int \frac {1} {(x - a) (x - b) ^ 2} \d x \]解：
\[\begin{aligned} & \int \frac {1} {(x - a) (x - b) ^ 2} \d x \\ = \; & \int \left[\frac {A_1} {x - a} + \frac {A_2} {x - b} + \frac {A_3} {(x - b) ^ 2} \right]\d x \\ = \; & A_1 \ln \abs {x - a} + A_2 \ln \abs {x - b} + \frac {A_3} {x - b} + C \end{aligned} \]如何确定 \(A_1, A_2, A_3\)。
\[1 = A_1(x - b) ^ 2 + A_2(x - a)(x - b) + A_3(x - a) \]带入 \(x = a\) 解得 \(A_1 = \frac {1} {(a - b) ^ 2}\)。
带入 \(x = b\) 解得 \(A_3 = \frac {1} {b - a}\)。
比较 \(x ^ 2\) 的系数得到 \(A_2 = -A_1 = -\frac {1} {(a - b) ^ 2}\)。
待定系数法：通分，但不要展开。
定理（换元）
若 \(F, G\) 分别是 \(f, g\) 的原函数，则
\[\int f(G(x)) g(x) \d x = F(G(x)) + C \]
理解（凑微分）：视 \(y = G(x)\)，则 \(g(x) \d x = \d y\)，\(\int f(y) \d y = F(y) + C = F(G(x)) + C\)。
主动换元（困难，硬凑）：\(\int f(y) \d y = \int f(G(x)) \d G(x) = H(x) + C = H(G ^ {-1}(y)) + C = F(y) + C\)，其中 \(H(x)\) 是 \(f(G(x)) g(x)\) 的原函数。
例 \(3\)
\[\int \frac {x} {1 + x ^ 2} \d x \]解：
\[\begin{aligned} & \int \frac {x} {1 + x ^ 2} \d x \\ = \; & \frac 1 2\int \frac {1} {1 + x ^ 2}\d (1 + x ^ 2) \\ = \; & \frac 1 2 \ln (1 + x ^ 2) + C \end{aligned} \]
例 \(4\)
\[\int \sin ^ nx \cos ^ mx \d x \]其中 \(n, m\) 至少有一个是奇数。
解：不妨设 \(m > 0\) 是奇数，则根据 \(\cos ^ 2 x = 1 - \sin ^ 2 x\)，将积分式写为 \(\int f(\sin x) \cos x \d x\)，其中 \(f\) 是多项式，则 \(\int f(\sin x) \cos x\d x = \int f(\sin x) \d \sin x\)。
对 \(m < 0\) 类似处理。
例 \(5\)
\[\int \frac {1} {\cos ^ {2m} x} \d x \]解：将 \(\frac {1} {\cos ^ 2 x} \d x\) 写成 $ \d \tan x$，将剩下的 \(\frac {1}{\cos ^{2m - 2} x}\) 写成 \((1 + \tan ^ 2) ^ {m - 1}\)。
例 \(6\)
\[\int \tan ^ n x \d x \]解：设 \(t = \tan x\)，则 \(x = \arctan t\)。
\[\begin{aligned} & \int \tan ^ n x \d x \\ = \; & \int t ^ n \d \arctan t \\ = \; & \int \frac {t ^ n} {1 + t ^ 2} \d t \\ \end{aligned} \]后面处理是容易的。
例 \(7\)
\[\int \frac 1 {\sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} \d x \]解（三角换元）：设 \(\theta = \arctan \frac x a\)（为什么这么换：\(1 + \tan ^ 2x = \frac 1 {\cos ^ 2 x}\)，设 \(x = a\tan \theta\)），则
\[\int \frac {1} {\sqrt {a ^ 2\tan ^ 2 \theta + a ^ 2}} \d a \tan\theta \]即
\[\int \frac {1} {\cos \theta} \d \theta \]得到关于 \(\sin \theta\) 的式子，再换回 \(x\)。
最终结果是 \(\ln(x + \sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}) + C\)。
解（双曲换元）：设根式为 \(y\)，则 \(y ^ 2 = x ^ 2 + a ^ 2\)，双曲线，使用双曲换元。设 \(x = a\sinh t\)，于是
\[\int \frac {1} {\sqrt {a ^ 2\sinh ^ 2 t + a ^ 2}} \d a \sinh t = \int \frac {\cosh t} {\cosh t} \d t = t + C \]其中 \(\cosh ^ 2t - \sinh ^ 2 t = 1\)。
注意到 \((\frac x a) ^ 2 = \sinh ^ 2 t = (\frac {\e ^ t - \e ^ {-t}} 2) ^ 2 = (\frac {\e ^ t + \e ^ {-t}} 2) ^ 2 - 1\)，于是 \(\e ^ t = \frac x a + \sqrt {1 + {x ^ 2} {a ^ 2}}\)。
因此 \(t = \ln (x + \sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}) - \ln a\)。
类似处理 \(\int \frac {1} {\sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}} \d x\)。三角换元 \(x = \frac {a} {\cos \theta}\) 或双曲换元 \(x = a\cosh t\)。
定理（分部积分）
\[\int F(x) g(x) \d x = F(x) G(x) - \int G(x) f(x) \d x \]对应求导的 Leibniz 法则。
关键是如何选择 \(f, g\)。
例 \(8\)
\[\int x\e ^ x \d x \]解：通过求导数使得一部分变简单，选择多项式。
\[\int x\e ^ x \d x = \int x \d \e ^ x = x \e ^ x - \int \e ^ x \d x = x \e ^ x - \e ^x + C \]
例 \(9\)
\[\int x \sin x \d x \]解：
\[\int x \sin x \d x = -\int x \d \cos x = -x\cos x + \int \cos x\d x = \sin x - x \cos x + C \]
其中 \(Q\) 是次数不超过 \(P\) 的多项式。于是有 待定系数法
解得 \(a_2 = -1\)，\(a_1 = 2a_2 = -2\)，\(a_0 = -a_1 = 2\)。
例 \(10\)
\[\int x ^ {\alpha} \ln x\d x \]解：
\[\begin{aligned} & \int x ^ {\alpha} \ln x\d x \\ = \; & \frac {x ^ {\alpha + 1}} {\alpha + 1}\ln x - \frac {1} {\alpha + 1} \int x ^ {\alpha + 1} \d \ln x \\ = \; & \frac {x ^ {\alpha + 1}} {\alpha + 1} \ln x - \frac {x ^ {\alpha + 1}} {(\alpha + 1) ^ 2} + C \end{aligned} \]
例 \(11\)
\[\int \e ^ x \sin ^ n x \d x \]解：
\[\begin{aligned} I_n & = \int \e ^ x \sin ^ n x \d x = \e ^ x\sin ^ n x - \int \e ^ x \d \sin ^ nx \\ & = \e ^ x\sin ^ n x - n \int \sin ^ {n - 1} \cos x \d \e ^ x \\ & = \e ^ x\sin ^ n x - n \e ^ x \sin ^ {n - 1} x \cos x - n\int \e ^ x \d (\sin ^ {n - 1} \cos x) \\ \end{aligned} \]
有理函数的不定积分
对 \(f(x) = \frac {P(x)} {Q(x)}\)，首先带余除法使得 \(\deg P < \deg Q\)。
将 \(f(x)\) 写成有限多个最简分式的线性组合，需要对 \(Q(x)\) 做因式分解（一次和二次式的乘积）。依赖 代数学基本定理。
代数学基本定理
在 \(\C\) 中任何多项式至少有一个根。
对于实系数多项式，复根共轭出现。而 \(x - (a\i + b)\) 和 \(x - (a\i - b)\) 的乘积是实系数二次多项式。
分解之后用待定系数法。
怎么求因式分解：待定系数。\(x ^ 4 + 1 = (x ^ 2 - px + q)(x ^ 2 + \alpha x + \beta)\)。
怎么积 \(\int \frac {1} {(1 + x ^ 2) ^ m} \d x\)：\(m\) 较小时三角换元，\(m\) 较大时找递推关系，得到 \(\left(\sum_{i = 2} ^ {m - 1} A_i \frac {x} {(1 + x ^ 2) ^ i}\right) +B \arctan x + C\)。
每个问题都有自身的特殊性，普适的方法不一定最简单。
沿圆弧的不定积分
万能公式：\(t = \tan \frac {\theta} 2\)，则 \(\cos x = \frac {1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2}\)，\(\sin x = \frac {2t} {1 + t ^ 2}\)。它的几何解释。
换元 \(t = \tan \theta\)。
沿双曲线的不定积分
或
双曲线有有理分式形式的参数方程。
沿可有理参数化代数曲线的不定积分
需要写成
且 \(R(x, y) = \frac {P(x, y)} {Q(x, y)}\)。
换元，写成有理函数积分。
115 定积分的概念
不定积分属于微分的范畴，定积分是真正的积分。
内容：
- 平面区域的面积。
- 定积分的定义（Darboux）。
- 定积分的定义（Riemann）。
- 定积分的性质。
平面区域的面积
矩形区域
的面积为 \(|R| = (b - a) \times (\beta - \alpha)\)。
设有限多个平面集合 \(\Omega_i\) 互不相交，则它们的并的面积为 \(\sum |\Omega_i|\)。
若
且 \(\lim_{n\to +\infty} |E_n| = \lim_{n \to +\infty} |F_n|\)，则称极限值为 \(\Omega\) 的面积。
考虑 \(\Omega = \{(x, y) | a\leq x\leq b, 0\leq y\leq x ^ 2\}\)，等分分点求极限要 Stolz 定理，等比分点不需要。
使用等比分点可知 \(0\leq y\leq x ^ s\) 的面积为 \(\frac {b ^ {s + 1}} {s + 1} - \frac {a ^ {s + 1}} {s + 1}\)。
使用其它分割法可以得到不同的面积吗？
定积分的概念
Darboux 积分
对有界闭区间 \([a, b]\) 上的有界函数，以及 \([a, b] \) 的 划分
取 ……
则 …… 为 \(f\) 关于 \(P\) 的 Darboux 上和 与 Darboux 下和。
定理
划分加细后，上和减小，下和增大。
定义
对 有界 函数 \(f : [a, b]\to \R\)，记称
\[\ud{S} = \sup_P \ud{S}(f, P)\quad \cdots \]为 \(f\) 在区间 \([a, b]\) 上的 Darboux 下积分 与 Darboux 上积分，其中 \(P\) 取遍所有划分。
若上下积分相等则称 \(f\) 在 \([a, b]\) 上 Darboux 可积，记共同值为 \(\int_{[a, b]} f(x) \d x\)，称为 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的 Darboux 积分。
Dirichlet 函数在 \([a, b]\) 上的 Darboux 下积分为 \(0\)，上积分为 \(b - a\)。
定理
…… 的 \(f\) 是 Darboux 可积函数当且仅当 \(\forall \eps > 0\) ……（使得不需要讨论所有分割）
…… \(I\in \R\) 是 \(f\) 的 Darboux 积分当且仅当 \(\forall \eps > 0\) ……
定理
有界闭区间上的单调函数是 Darboux 可积函数，\(\forall \eps > 0\)，\(\exists \delta > 0\) 使得 ……
证明：定义 \(\Vert P \Vert = \max_{i = 1} ^ N (x_i - x_{i - 1})\)。
\[\ov S(f, P) - \ud S(f, P) \leq (f(b) - f(a)) \Vert P\Vert \]
定理
有界 \([a, b]\) 上有界，\((a, b)\) 上连续的 \(f\) 在 \([a, b]\) 上 Darboux 可积。
推论
有界 \([a, b]\) 上有界，仅有有限多个间断点的 \(f\) 在 \([a, b]\) 上 Darboux 可积。
用小矩形将 \(f(a), f(b)\) 这两个可能出现问题的地方先覆盖，则剩下部分一致连续。
- \(f\) 有可数多个间断点，情况如何？
Riemann 积分
定义
对 \(f : [a, b]\to \R\)，\([a, b]\) 的划分 \(P : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b\) 以及标志点 \(\xi = \{\xi_i\}_{i = 1} ^ N\)（\(\xi_i\in [x_{i - 1}, x_i]\)），记
\[S(f, P, \xi) = \sum_{i = 1} ^ N f(\xi_i)(x_i - x_{i - 1}) \]为 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的 Riemann 和（存疑）。
定义
称 …… Riemann 可积，若存在 \(I\in \R\) 使得 …… 就有
\[|S(f, P, \xi) - I| < \eps \]称 \(I\) 为 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的 Riemann 积分，记
\[I = \int_{a} ^ b f(x) \d x \]
- 对具有范数的线性空间 \(V\)，可定义映射 \(f : [a, b]\to V\) 的 Riemann 积分。
Darboux 积分需要比大小，Riemann 积分只需要计算距离。
定理（Lebesgue）
对 \(f : [a, b]\to \R\)，以下结论等价：
- \(f\) 在 \([a, b]\) 上 Riemann 可积；
- \(f\) 在 \([a, b]\) 上有界且 Darboux 可积。
- \(f\) 在 \([a, b]\) 上有界且 \(f\) 在 \([a, b]\) 中的所有间断点组成长度为零的集合（差不多是连续函数）。\(A\subset \R\) 长度为零：\(\forall \eps > 0\)，\(A\) 能被可数多个区间覆盖，且区间长度和小于 \(\eps\)。
在上述情况中，\(f\) 的 Riemann 积分和 Darboux 积分具有相同的值。
Lebesgue 准则是判定一个函数是否可积的最常用准则。
记 \(f\in \scr R[a, b]\) 表示 \(f\) 在 \([a, b]\) 上 Riemann 可积。
- 可数集合都是长度为零的集合。
- Cantor 三分集长度为零，但它的元素与实数一样多。
\(R(x)\) Riemann 可积，且 Darboux 下积分为 \(0\)。
定理（积分区间的可拆解性）
\(f, g\in \mathscr R[a, b]\)，则 \(|f|, f + g, fg\in \R [a, b]\)。
\[\int_{a} ^ b f(x) \d x + \int_{b} ^ c f(x) \d x = \int_{a} ^ c f(x) \d x \]
规定
这使得积分 具有方向性，于是 \(\forall a, b, c\in I\) 上式均成立。
Darboux 是无向积分，\(P\) 区间 \([a, b]\) 的划分。
Riemann 是有向积分，\(P\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的路径（物理学很有用）。
116 定积分的性质与计算
内容：
- 定积分的基本性质。
- 微积分基本定理 —— 定积分与原函数。
- 定积分的近似计算。
- 与定积分有关的不等式。
定积分的基本性质
线性性。
保序性。
微积分基本定理（第一部分）
设 \(f\in \scr R[a, b]\)，记
\[F(x) = \int_a ^ x f(u)\d u \]则 \(F\in \scr C[a, b]\)，且 Lipschiz 连续。
微积分基本定理（第二部分）
若 \(f\) 在 \(x_0\in [a, b]\) 处连续，则 \(F\) 在 \(x_0\) 处可微，且 \(F'(x_0) = f(x_0)\)。
\(|F(x_0 + h) - F(x_0) - f(x_0)h| = \abs{\int_{x_0} ^ {x_0 + h} f(u)\d u - \int_{x_0} ^ {x_0 + h} f(x_0)\d u}\)。
推论：任何连续函数具有原函数。
微积分基本定理（第三部分）
若 \(F'\in \scr R[a, b]\)，则
\[F(x) = F(a) + \int_{a} ^ x F'(u)\d u \]用微分中值定理证。
推论：若 \(f\in\scr C[a, b]\)，则 \(\int_{a} ^ x f(u) \d u\) 是 \(f\) 的原函数。
Newton-Leibniz 公式
若 \(f\in \scr R[a, b]\) 且 \(F\) 是 \(f\) 的原函数，则
\[\int_{a} ^ b f(u) \d u = F(b) - F(a) \]
注意：
- \(f\) 有原函数并不意味着 \(f\in \scr R[a, b]\)。
- \(f\in \scr R[a, b]\) 并不意味着 \(F(x) = \int_a ^ x f(u)\d u\) 是 \(f\) 的原函数。
换元公式
\(f\) 在 \(I\) 上连续，\(a, b\in I\)，\(\varphi: [\alpha, \beta]\to I\) 满足 \(\varphi(\alpha) = a\)，\(\varphi(\beta) = b\) 且 \(\varphi' \in \scr R[a, b]\)，则
\[\int_a ^ b f(x) \d x = \int_{\alpha} ^ {\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \d t \]推广：\(f\) 可以不连续（但必须可积），可以用 \(\psi(t)\) 替换 \(\varphi'(t)\)，其中 \(\varphi\) 是 \(\psi\) 的变上限积分。
换元公式的无向积分：区间上的积分；
有向积分：沿路径的积分。力对物体所做的功和路径无关，只和起点终点有关。积分与路径无关。力的做功等于势能的变化。
Riemann-Stieltjes 积分 常见于概率学，和换元公式形式很像。
分部积分
若 \(f', g'\in \scr R[a, b]\)
\[\int_a ^ b f(x)g'(x)\d x = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a ^ b g(x)f'(x)\d x \]
例 \(1\)
计算 \(I_n = \int_0 ^ {\frac {\pi} 2} \cos ^ n x\d x\)。
解：\(I_0 = \frac {\pi} 2\)，\(I_1 = 1\)。
\(I_n\) 使用分部积分得到递推式 \(\frac {(n - 1)!!} {n!!} I_{k\bmod 2}\)。
例 \(2\)
求 \(\sum_{i = 1} ^ N \ln(N + i)\) 的渐进表达式。
解：
\[\frac 1 N\sum_{i = 1} ^ N \ln\frac {N + i} N \to \int_1 ^ 2 \ln x\d x \]于是渐进表达式为 \(N\ln N + (2\ln 2 - 1) N + o(N)\)。
积分余项 Taylor 公式
若 \(f ^ {(n + 1)} \in \scr R[a, b]\)，则 \(\forall x\in [a, b]\)
\[f(x) = f(a) + f'(x - a) + \cdots + \frac {f ^ {(n)}(a)} {n!} (x - a) ^ n + \int_{a} ^ x \frac {f ^ {(n + 1)}(t)} {n!} (x - a) ^ n \d t \]归纳 + 分部积分。
积分平均值定理
设 \(g\in \scr R[a, b]\)，满足 \(g(x) \geq 0(\forall x\in [a, b])\)，\(\int_a ^ b g(x) \d x > 0\)，则对任意 \(f\in \scr C[a, b]\)，存在 \(\xi \in [a, b]\) 使得
\[f(\xi) = \frac {\int_a ^ b f(x) g(x) \d x} {\int g(x) \d x} \]积分的保序性和线性，连续函数的最值性和介值性。
利用积分平均值定理可以在积分余项和 Lagrange 余项之间建立联系。
定积分的近似计算
利用在 \(a\) 处（积分下限）的 Taylor 展开近似计算积分值。
矩形公式
用黎曼和计算的误差为 \(O(h)\)（\(n\sim \frac 1 h\)）。
中点矩形公式
总误差为 \(o(h)\)。
梯形公式
单个矩形的误差为 \(-\frac {f''(a)} {12}h ^ 3 + o(h ^ 3)\)。
总误差为 \(O(h ^ 2)\)。
Simpson 公式
将 \(R'(h)\) Taylor 展开，当 \(A = C = \frac 1 3\)，\(B =\frac 4 3\) 时，\(R'(h) = o(h ^ 3)\)，\(R(h) = o(h ^ 4)\)。
即
总误差为 \(o(h ^ 3)\)。
Simpson 公式的 代数精度 为 \(3\)：对次数不超过 \(3\) 的多项式是精确的。
与积分有关的不等式
\(f : [a, b] \to \R\) 有界严格凸
Cauchy-Schwarz 不等式
\[\abs {\int_I f(x) g(x) \d x} \leq \sqrt {\int_I \abs{f(x)} ^ 2\d x \int_I \abs {g(x)} ^ 2 \d x} \]计算 \(\int_I \abs{f(x) - tg(x)} ^ 2 \d x\)，化简，配方，取 \(t = \frac {\int_I f(x) g(x) \d x} {\int_I \abs{g(x)} ^ 2 \d x}\)。
等号成立的条件：
- 若 \(\int_I \abs {g(x)} ^ 2 \d x = 0\)，则 ……
- 若 \(\int_I \abs {g(x)} ^ 2 \d x > 0\)，则 ……
非负可积函数在一段区间上的积分为 \(0\)，则每个连续点的函数值均为 \(0\)（几乎到处是 \(0\)）。
在积分意义下两个函数相等的新观点：去掉一个至多可数无穷的集合，函数值相等。
找函数空间的一组基：
且当 \(m\neq \pm n\) 时
用积化和差证明。
当 \(n\neq 0\) 时
于是在 \(\scr R[a, b]\) 中 \(1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots\) 是一系列彼此正交的函数。
由于 \(\langle e_i, e_j \rangle = 0\)，所以
考虑用 \(1, \cos x, \sin x, \cdots\) 表示任意 \(f\in \scr R[a, b]\)。
Fourier 级数。
117 定积分的应用（1）
内容：
- 平面区域的面积。
- 曲线的弧长。
- 曲线的弧长参数与曲率。
- 曲线上的质量分布和质心。
平面区域的面积
例 \(1\)
求 \(y = \sqrt x\) 与 \(y = x ^ 2\) 所围成的有界区域的面积。
例 \(2\)
求椭圆 \(\frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1\) 所围成的有界区域的面积。
分成上半椭圆和下半椭圆，计算得 \(ab\pi\)。
例 \(3\)
\(\gamma : x ^ 2 - y ^ 2 = 1\) 上一点 \(A\)，求 \(\gamma\) 和 \(x\) 轴和直线 \(OA\) 围城的有界区域面积。
\(x\) 写成 \(y\) 的函数，计算得 \(\frac {\sinh ^ {-1} y_0} 2\)。
求面积问题不在乎谁是自变量谁是因变量。
- 对于双曲线，\((\cosh t, \sinh t) \leftrightarrow \frac t 2\)。
- 对于圆，\((\cos \theta, \sin \theta) \leftrightarrow \frac {\theta} 2\)。
简单封闭曲线
- 封闭曲线：参数范围两端对应的点相同。
- 简单曲线：只有起点和终点对应同一个点。
Jordan 定理：平面上任何简单封闭曲线将平面分成彼此不相交的连通三部分：内部，外部和曲线自身（内外部分的边界）。对曲面不成立（几何结构不同，地球和平面无法建立保持连续的一一对应）。
\(\gamma\) 的定向：参数 \(t\) 增大的方向。
符合 自然正向 的封闭曲线 \(\gamma\)：沿参数 \(t\) 增大前进时，\(\gamma\) 围成的有界区域位于左侧。
若只有有限个位置 \(y'(t) = 0\) 且 \(x'\) 关于 \(t\) 的导函数连续：按照这些位置切割后每一段 \(x'(t)\neq 0\)，可以看成 \(y\) 关于 \(x\) 的函数。不知道 \(y\) 关于 \(x\) 的表达式怎么办？直接换元，\(\d x = \d x(t)\)。注意方向！
面积等于 \(-\int_{\alpha} ^ {\beta} y(t)x'(t) \d t = \int_{\alpha} ^ {\beta} x(t)y'(t)\d t\)，容易验证。
于是面积等于（关于 \(x, y\) 对称的形式）
即 \(-\int_{\gamma} y\d x = \int_{\gamma} x \d y = \frac {1} 2 \int_{\gamma} x\d y - y\d x\)。
行列式的含义？位置向量和速度向量形成的小三角形的面积。求凸包面积。
由换元公式知上述积分与曲线参数的表达方式无关。
上述面积与平面直角坐标系的选取无关。
极坐标类似 \(x(\theta) = r(\theta) \cos \theta\)，\(y(\theta) = r(\theta) \sin \theta\)。带入并化简得到
联系扇形面积公式。
- 就算不封闭，沿着半径积分也不产生贡献。
例 \(1\)
求 \(x ^ 2 + y ^ 2 \leq R ^ 2\) 的面积。
解：将圆写成参数形式 \(\begin{cases} x = \frac {1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2} R \\ y = \frac {2t} {1 + t ^ 2} R \end{cases}\)（回忆求积分的万能公式）。
\[A = 4 \cdot \frac 1 2 \int_0 ^ 1 \begin{vmatrix} x(t) & x'(t) \\ y(t) & y'(t) \end{vmatrix} \d t = 4R ^ 2\int_0 ^ 1 \frac {1} {1 + t ^ 2} \d t = \pi R ^ 2 \]人为定义 \(\int_0 ^ 1 \frac {1} {1 + t ^ 2} = \frac {\pi} 4\)，则上述积分过程和三角函数无关（否则涉及到 \(\arctan x\)）。
物理应用
中心力场与 Kepler 第二定律
相同时间内行星与太阳的连线扫过的区域面积相等。
已知 \(P''(t) = f(P(t)) P(t)\)（根据中心力场写出的方程），\(P(t) = (x(t), y(t))\)。
于是
可知中心力 \(\iff\) Kepler 第二定律。并不需要万有引力。
曲线的弧长
- 在高维空间度量低维几何对象的大小是很微妙的。
设 \(x(t) = (x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(y))\) 是 \(n\) 维曲线 \(\gamma\) 的参数表示，区间 \([\alpha, \beta]\) 的划分
给出了一列点，对应折线长度为
- 要求空间定义了距离。
- 为了明确标记点之间的 “相邻”，即确定每个标记点的次序，必须给曲线参数化描述，不能纯几何定义。
划分加细时 \(L(\scr P)\) 变大（两点之间线段最短）。
若 \(L(\gamma) = \sup_{\scr P} L(\scr P)\) 存在，则称曲线 \(\gamma\) 为 可求长曲线，称 \(L(\gamma)\) 为 \(\gamma\) 的 弧长。
若 \(x\in \scr C ^ 1\)，则
最后一步要求 \(x'\) 连续（即要求 \(x\) 光滑）。于是
含义：当时间间隔趋于 \(0\) 时，运动可近似看作直线运动，用速度乘以时间计算。
- 弧长与曲线参数表示的选取无关。设 \(t = t(s)\) 可微且有反函数，\(t[a, b] = [\alpha, \beta]\)，\(\tilde x(s) = x(t(s))\)。使用链索法则和定积分 无向 换元公式易证 \(\int_{[a, b]} \lVert \tilde x'(s)\rVert \d x = \int_{[\alpha, \beta]} \lVert x'(t)\rVert \d t\)。
- 弧长与正交坐标系的选取无关。
例 \(1\)
求旋轮线 \(x = a(t - \sin t)\)，\(y = a(1 - \cos t)\) 的弧长（直线上的轮子旋转）。
\(L(\gamma) = 8a\)。
极坐标系下 \(\d l = \sqrt{x'(\theta) ^ 2 + y'(\theta) ^ 2} \d \theta = \sqrt {(\d r) ^ 2 + (r\d \theta) ^ 2}\)。
例 \(2\)
\(\gamma\) 在极坐标系下的方程为 \(r = a(1 + \cos \theta)\)，求 \(\gamma\) 的弧长（圆周上的轮子旋转）。
\(L(\gamma) = 8a\)。
例 \(3\)
求 \(\gamma: x = \e ^ {-t}\cos t; y = \e ^ {-t}\sin t; z = \e ^ {-t}(0\leq t\leq a)\) 的弧长。
例 \(4\)
求圆周 \(x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2\) 的长度。
解：写成参数形式，\(L(\gamma) = 8R\int_0 ^ 1\frac {\d t} {1 + t ^ 2} = 2\pi R\)。
曲线的弧长参数
很重要。
\(l'(t) = \lVert x'(t)\rVert > 0\implies\) 存在可微反函数 \(t = t(l)\)，\(t'(l) = \frac{1} {\lVert x'(t)\rVert}\)。
于是 \(\tilde x(l) = x(t(l))\) 弧长参数下曲线的参数方程。
例 \(1\)
求 \(x ^2 + y ^ 2 = 1\) 在弧长参数下的方程。
\(\frac {\d x} {\d l} = -y\)，\(\frac {\d y} {\d l} = x\)，微分方程组。
已知 \(x(0) = 1\)，\(y(0) = 0\)，解唯一。记 \(x(l) = \cos l\)，\(y(l) = \sin l\)。
- 平面曲线由曲率确定，空间曲线由曲率和挠率确定。
\(x'(l) = x'(t(l))t'(l) = \frac {x'(t)} {l'(t)} = \frac {x'(t)} {\lVert x'(t)\rVert}\)，即曲线对弧长求导得到长度为 \(1\) 的向量（速度大小等于 \(1\)）。
\(\langle x'(l), x'(l)\rangle = 1\implies \langle x'(l), x''(l)\rangle = 0\)，即弧长参数下 加速度和速度垂直（速度大小不变，只改变速度方向，于是加速度只能垂直于速度）。
考虑 \(x'(l)\) 和 \(x'(l + \D l)\) 的夹角 \(\D \theta\)，\(\sin \frac {\D \theta} 2 = \frac 1 2 \lVert x'(l + \D l) - x'(l) \rVert\)，可知 \(\D \theta = \lVert x''(l)\rVert \D l + o(\D l)\)，即 \(\lim_{\D l\to 0} \frac {\D \theta} {\D l} = \lVert x''(l)\rVert = \kappa\)：沿曲线以单位速度移动时，曲线方向的变化率（曲率）。
写成以 \(t\) 为参数的形式：\(x''(l) = (\frac {x'(t)} {\lVert x'(t)\rVert})' \frac {1} {\lVert x'(t)\rVert} = (x''(t) - \frac {x'(t)} {\lVert x'(t)\rVert} \langle \frac {x'(t)} {\lVert x'(t)\rVert}, x''(t) \rangle) \frac {1} {\lVert x'(t)\rVert ^ 2}\)，法向加速度等于加速度减去切向加速度（加速度在切方向上的投影），再乘以调整 \(l, t\) 之间参数关系的系数。
以上适合平面、空间曲线。
- \(x''(l)\)：曲率向量。
- \(\kappa = \lVert x''(l)\rVert\)：曲率。
- \(T(l) = x'(l)\)：曲线的单位切向量。
- \(N(l) = \frac {x''(l)} {\lVert x''(l)\rVert}\)：曲线的（单位）主法向量。\(T'(l) = \kappa N(l)\)。
任何长度固定的向量和它的导数垂直。于是
- \(0 = \langle N(l), N(l) \rangle' = 2\langle N(l), N'(l)\rangle\)，即 \(N(l)\) 和 \(N'(l)\) 正交。
- \(0 = \langle T(l), N(l)\rangle' = \kappa\langle N(l), N(l) \rangle + \langle T(l), N'(l)\rangle = \kappa + \langle T(l), N'(l)\rangle\)。法方向的导数在切方向上的投影等于 \(-\kappa\)。
在 \(\R ^ 2\) 中，\(N'(l)\) 和 \(T(l)\) 在同一条直线上（\(N\) 和 \(T\) 垂直，\(N\) 和 \(N'\) 垂直）。于是 \(N'(l) = -\kappa T(l)\)。在弧长参数下 \(\R ^ 2\) 曲线的活动标架 \((T, N)\) 满足基本方程 ……
设 \(x = AT + BN\)，则 \(T = x' = A'T + A\kappa N + B'N - B\kappa T\)，对比两侧系数可知 \(A', B'\) 关于 \(A, B\) 的递推式。
在 \(\R ^ 3\) 中，\(B(l) = N(l)\times T(l)\) 为曲线的 （单位）次法向量。\(B\) 和速度方向 \(T\) 垂直，同时和主法向量 \(N\) 垂直（根据叉乘的定义）。和 \(T\) 垂直的是一个平面，\(N\) 和 \(B\) 是该平面的正交基。
\(N\) 和 \(N'\) 正交，所以 \(N' = -\kappa T + \tau B\)，\(\tau = \langle N'(l), B(l)\rangle\) 称为曲线的 挠率。
\(B' = -\tau N\)。
三维空间的曲线由曲率和挠率完全确定。
切向量和主法向量张成 密切平面（不在平面上的部分至少是 \(O(h ^ 3)\)），挠率 \(\tau\) 描述了曲线逃离密切平面的程度。
例 \(2\)
求 \(\gamma : x = \cos t, y = \sin t, z = \cos 2t\)（\(0\leq t\leq 2\pi\)）在 \(t = 0\) 时的曲率。
解：\(\frac {\d \bf X} {\d t} = (-\sin t, \cos t, -2\sin 2t)\)，\(\frac {\d \bf X} {\d l} = \bf T = \frac {(-\sin t, \cos t, -2\sin 2t)} {\sqrt {3 - 2\cos 4t}}\)，后者除掉了前者的模长。可知 \(\frac {\d t} {\d l} = \frac {1} {\sqrt {3 - 2\cos 4t}}\)。
\(\frac {\d \bf T} {\d t} = \bf A - \frac {4\sin 4t} {3 - 2\cos 4t} \bf T\)，其中 \(\bf A = \frac {(-\cos t, -\sin t, -4\cos 2t)} {\sqrt {3 - 2\cos 4t}}\)，于是 \(\frac {\d \bf T} {\d l} = \frac {\d T} {\d t} \frac {\d t} {\d l} = \bf T' = \frac {\bf A - \frac {4\sin 4t} {3 - 2\cos 4t} \bf T} {\sqrt {3 - 2\cos 4t}}\)。
当 \(t = 0\) 时，\(\bf T = (0, 1, 0)\)，\(\bf A = (-1, 0, -4)\)，\(\bf T' = \bf A = (-1, 0, -4)\)。于是 \(\kappa = \lVert \bf T'\rVert = \sqrt {17}\)。
在弧长参数下，\(\R ^ n\) 中曲线的活动标架 \((\bf T\ \bf N_1\ \cdots\ \bf N_{n - 1})\) 满足方程 …… 空间曲线由 \(\kappa_1, \cdots, \kappa_{n - 1}\) 唯一确定。
质心
曲线 \(\bf x(t)\)，线密度 \(\rho(\bf x)\)，质量
曲线上点的位置按质量分布的 加权平均 称为 质心
- 形式类似 积分平均值定理。
类比概率：\(\rho\) 和概率密度，质心和数学期望。
118 定积分的应用（2）
内容：
- 旋转体体积。
- 旋转曲面面积。
- 柱面面积。
- 旋转体的质心与 Pappus-Guldin 定理。
- 万有引力。
旋转体体积
平面曲线 \(y = \sqrt x\)（\(0\leq x\leq a\)）绕 \(x\) 旋转一周形成一个旋转面。求它与平面 \(x = a\) 围城的旋转体的体积。
因为 \(y\) 连续，所以当 \(\D x\) 足够小时，可近似将旋转体看成圆柱。
为什么可以近似？体积的微分是圆柱。
微元法：将 \(F\) 的变化量写成 \(f \cdot \D h + o(\D h)\)，则 \(F' = f\)，那么 \(F\) 就可以根据 N-L 公式用 \(f\) 的积分计算。
绕 \(y\) 轴的体积：
- 圆柱薄片：\(\int_0 ^ {\sqrt a} \pi x(y) ^ 2 \d y = \frac {\pi a ^ {5 / 2}} {5}\)。
- 套筒体积：\(\int_0 ^ a (\sqrt a - y(x)) \d (\pi x ^ 2)\)（\(\d (\pi x ^ 2)\) 是圆面积的微分，即套筒底面积）。
例 \(1\)
求 \(x ^ 2 + (y - R) ^ 2 = r ^ 2\)（\(0 < r < R\)）绕 \(x\) 轴旋转一周所围城的有界区域的面积。
解：\(x = r\cos t\)，\(y = R + r\sin t\)（\(0\leq t\leq 2\pi\)）。则 \(V = -\int_0 ^ {2\pi} \pi y(t) ^ 2 \d x(t)\)。
- 相当于用 “大饼” 减去 ”小饼”。当 \(0\leq t\leq \pi\) 时，\(x(t)\) 减小。当 \(\pi\leq t\leq 2\pi\) 时，\(x(t)\) 增加，但这部分体积是被减去的。
- 公式适用于任何上半平面区域的边界曲线，只要曲线是自然正向参数。
最终答案是 \(2\pi ^ 2R r ^ 2 = 2\pi R \cdot \pi r ^ 2\)：小圆面积乘以大圆周长。
圆柱体积和套筒体积之间的相互转化。负号是由 曲线定向 导致的。
“吐司面包公式”：沿 \(x\) 轴将空间区域按垂直于 \(x\) 轴的方向切成薄片，\(x\) 处截面面积为 \(S(x)\)，则体积
对高维也适用：\(n\) 维体积是 \(n - 1\) 维截面面积的积分。
例 \(2\)
求 \(n\) 维空间中球的体积公式。
解：
\[V_n(R) = \int_{-R} ^ {R} V_{n - 1} (\sqrt {R ^ 2 - x ^ 2}) \d x = \int_{-1} ^ 1 V_{n - 1} (\sqrt {R ^ 2 - R ^ 2 t ^ 2}) \d Rt \]当 \(n = 1\) 时 \(V_1(R) = 2R\)，猜测 \(V_n(R) = C_n R ^ n\)。
\[C_nR ^ n = \int_{-R} ^ R C_{n - 1}(R ^ 2 - x ^ 2) ^ {\frac {n - 1} 2} \d x = 2C_{n - 1} R ^ n \int_0 ^ {\frac \pi 2} \cos ^ n \theta \d \theta \]其中换元令 \(x = R\sin \theta\)。于是
\[C_n = 2C_{n - 1} \int_0 ^ {\frac \pi 2}\cos ^ n \theta \d \theta = C_{n - 1} \frac {(n - 1) !!} {n!!} B_n, \quad B_n = \begin{cases} \pi, & 2\mid n; \\ 2, & 2\nmid n .\end{cases} \]因此
\[C_n = \begin{cases} \frac {(2\pi) ^ m} {(2m)!!}, & n = 2m; \\ \frac {2 (2\pi) ^ m} {(2m + 1)!!}, & n = 2m + 1. \end{cases} \]
旋转曲面的面积
非旋转曲面需要多元微积分，下学期学。
- 再一次，在高维度量低维几何对象需要非常谨慎。
不能近似成圆柱，必须近似成圆锥。
弧长 \(2\pi y\)，半径差为 \(\d l = \sqrt {(\d x) ^ 2 + (\d y) ^ 2}\)，于是
例 \(1\)
求面包圈的表面积。
解：\(x = r\cos t\)，\(y = R + r\sin t\)。
\[A = \int_0 ^ {2\pi} 2\pi(R + r\sin t) \sqrt {((r\cos t)') ^ 2 + ((R + r\sin t)') ^ 2} \d t = 2\pi R \cdot 2\pi r \]
观察到 \(V' = A\)：往轮胎吹气，新增的体积差不多是原来的表面积乘以小量。于是球体表面积
积分法
例 \(2\)
求 \(\R ^ n\) 中半径为 \(R\) 的球的表面积。
解：
\[A_n(R) = \frac {\d V_n(R)} {\d R} = nC_n R ^ {n - 1} \]目前这只是猜想。
柱面面积
\(\gamma : x = x(t), y = y(t)\) 是 \(x y\) 坐标平面的一条平面曲线，\(\Sigma : \{(x, y, z) | (x, y) \in \gamma, 0\leq z\leq f(x, y)\}\) 是一个柱面，求其面积。
和 Riemann 积分的初始想法差不多，只不过坐标轴弯曲导致 $\d S = f(x, y)\cdot \d l $。
质心
求三维空间中质量均匀分布的半球体的质心。
\(\Omega : 0\leq z\leq \sqrt {R ^ 2 - x ^ 2 - y ^ 2}\)。由对称性质心落在 \(z\) 轴上。
例 \(1\)
求 \(\R ^ 3\) 中半径为 \(R\) 的半球面的质心。
解：
\[\frac 1 {2\pi R ^ 2} \int_0 ^ R z \cdot 2\pi \sqrt {R ^ 2 - z ^ 2} \d l = \frac 1 {2\pi R ^ 2} \int_0 ^ {\frac \pi 2} 2\pi R\sin \theta R\cos \theta R\d \theta = \frac R 2 \]
- 设倾角为 \(\theta\)，\(l = R\theta\)，于是 \(\d l = R\d \theta\)，\(z = R\sin \theta\)。
Pappus-Guldin 定理
- 旋转面的面积等于母线长度乘以母线质心绕轴旋转的长度。
- 旋转体的体积等于平面区域面积乘以平面区域质心绕轴旋转的长度。
万有引力
求三维空间中质量均匀分布的球壳对一点的引力。设点与球心距离 \(L\)，球半径为 \(r\) 且 \(r < L\)。
解释：当 \(\theta\) 变化很小时，对应扫过的面积可近似看做周长乘以弧长。周长 \(2\pi r\sin \theta\)，弧长 \(r \d \theta\)。乘以 \(\rho\) 得到质量，套入万有引力公式得到作用力。将力分解为球心和点连线方向上的部分和垂直于连线方向的部分。根据圆环的对称性，垂直于连线方向上的力相互抵消（平面上一个点受到来自四面八方的均匀且大小一定的力），只需考虑球心与点连线方向上的部分，故需乘以球壳与点的连线在球心与点的连线上投影造成的缩放比例。
最终得到积分结果 \(\frac {Gm \cdot 4\pi r ^ 2 \rho} {L ^ 2}\)，故均匀球体产生的引力等价于全部质量集中于球心产生的引力。
119 广义积分
Riemann 和 Darboux 积分的两个 “有界” 要求使得它们在应用层面有一定局限性。此时需要引入广义积分。
引例：计算圆周周长时需要用到 \(\int_0 ^ 1 \frac {\d x} {\sqrt {1 - x ^ 2}}\)，分析发射速度时需要用到 \(\int_R ^ {R + H} \frac {GMm} {r ^ 2} \d r\)（\(H\to +\infty\)）。
Riemann 积分：
- 积分区间有界。
- 被积函数有界。
广义积分（improper integrals，反常积分）：
- 无界区间上的积分。
- 有瑕点的积分（瑕积分）。
定义
无界区间
设 \(f: [a, +\infty)\to \R\) 在任何 \([a, A]\) 上 Riemann 可积。
若
收敛，则称 广义积分 \(\int_a ^ {+\infty} f(x) \d x\) 收敛（对积分线去极限），并记 ……
不收敛的广义积分称为 发散的。类似定义 \(\int_{-\infty} ^ a g(x) \d x\)。
一般而言更关心广义积分的收敛性。
例 \(1\)
\(\int_0 ^ {+\infty} \e ^ {-\lambda x} \d x\)。
解：
\[\int_0 ^ A \e ^ {-\lambda x} \d x = \begin{cases} \frac 1 \lambda (1 - \e ^ {-\lambda A}) & \lambda \neq 0 \\ A & \lambda = 0 \end{cases} \]因此积分收敛当且仅当 \(\lambda > 0\)，此时极限（也即积分值）为 \(\frac 1 \lambda\)。
例 \(2\)
\(\int_1 ^ {+\infty} \frac 1 {x ^ p} \d x\)。
收敛当且仅当 \(p > 1\)，此时极限为 \(\frac {1} {p - 1}\)。
对于积分上下限均为无穷远的积分，切割成两个半区间。
注意：\(\int_{-\infty} ^ {+\infty} f(x) \d x\)（要求上下限分别独立趋于无穷）不是 \(\lim_{A\to +\infty}\int_{-A} ^ A f(x) \d x\)（上下限绑定在一起趋于无穷，物理上的 “积分主值”）。
例 \(3\)
\(\int_{-\infty} ^ {+\infty} \frac {1} {1 + x ^ 2} \d x\)。
等于 \(\pi\)。
例 \(4\)
\(\int_{-\infty} ^ {+\infty} \frac {x} {1 + x ^ 2} \d x\)。
即使它是奇函数，但它不等于 \(0\)，而是发散。
瑕积分
设 \(f: [a, b)\to \R\) 无界，但在任何有界闭区间 \([a, b - \delta](\delta > 0)\) 上 Riemann 可积，则称 \(\int_a ^ b f(x) \d x\) 为 瑕积分，称 \(b\) 为 瑕点。
若
收敛，则称 …… 收敛。
对于仅含有限多瑕点的函数的积分，在每相邻两个瑕点之间找正常点，将问题分为若干广义积分。
瑕积分出现问题不是瑕点自身造成的，而是函数在瑕点越来越小的邻域的行为造成的。
例 \(5\)
\(\int_0 ^ 1 \frac {1} {x ^ p} \d x\)。
收敛当且仅当 \(p < 1\)，此时极限为 \(\frac {1} {1 - p}\)。
这些例子是判断其它广义积分收敛的参照物。
统一定义
设 \(\omega = +\infty\) 或 \(\omega\) 为 \(f\) 的瑕点。对任意 \(u\in [a, \omega)\)，\(f\in \scr R [a, u]\)，定义 ……
此时称 \(f\) 在 \([a, \omega)\) 上 广义可积。
瑕积分和无界区间上的积分可相互转化：
运算性质
收敛的广义积分满足线性性，保序性。
推广的 N-L 公式。原函数 \(F\) 在 \(u\to \omega ^ -\) 处的极限减去 \(F(a)\)。
换元公式。
120 广义积分（2）
内容：
- Cauchy 收敛准则。
- 广义积分的绝对收敛性。
大部分函数没有初等原函数，无法使用 N-L 公式计算相应广义积分的值。
广义积分的收敛性是保证运算性质的重要前提，是特别重要的问题。
Cauchy 收敛准则
收敛就有 Cauchy 准则。
\(\int_a ^ {+\infty} f(x) \d x\) 收敛，当且仅当对任意 \(\eps > 0\)，存在 \(N_\eps > 0\) 使得对任意 \(A_2 > A_1 > N_\eps\)
证明：变上限积分在上限取到整数且趋于 \(+\infty\) 时满足 Cauchy 性质，于是数列收敛 ……
绝对收敛
称广义积分 \(\int_a ^ {+\infty} f(x) \d x\) 绝对收敛（\(f\) 在 \([a, +\infty)\) 上 绝对可积），若 \(\int_a ^ {+\infty} \abs {f(x)} \d x\) 收敛。
不变号的积分，收敛等价于绝对收敛。
定理（比较法）
设 \(f\in \scr R[a, A](\forall A > a)\)，若存在 \(g\) 使得
- \(\int_a ^ {+\infty} g(x) \d x\) 绝对收敛；
- \(f(x) = O(g(x)), x\to +\infty\)。
则 \(\int_a ^ {+\infty} f(x)\d x\) 绝对收敛。
比较法只在判定绝对收敛时生效。
例 \(1\)
\(\int_1 ^ {+\infty} x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x} \d x\)。
存在 \(N > 1\) 使得 \(\forall x > N\)，\(0 < x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x} < \e ^ {-\frac x 2}\)。后者绝对收敛，因此对任意实数 \(\alpha\)，\(\int_1 ^ {+\infty} x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x} \d x\) 绝对收敛。
例 \(2\)
\(\int_0 ^ 1 x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x} \d x\)。
当 \(x\to 0 ^ +\) 时，\(x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x}\) 和 \(x ^ {\alpha - 1}\) 同阶，于是收敛当且仅当 \(\int_0 ^ 1 x ^ {\alpha - 1}\d x\) 收敛，当且仅当 \(1 - a < 1\) 即 \(a > 0\)。
例 \(3\)（\(\Gamma\) 函数）
对任意 \(\alpha > 0\)，\(\Gamma(\alpha) = \int_0 ^ {+\infty} x ^ {\alpha - 1} \e ^ {-x}\d x\)，满足 \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha)\)，\(\Gamma(1) = 1\)，于是对任意正整数 \(n\)，\(\Gamma(n + 1) = n!\)。
阶乘函数的推广，在数学和物理都很有用。
例 \(4\)（\(\Beta\) 函数）
对任意 \(\alpha, \beta > 0\)
\[\Beta(\alpha, \beta) = \int_0 ^ 1 x ^ {\alpha - 1} (1 - x) ^ {\beta - 1}\d x \]满足 \(\Beta(\alpha + 1, \beta) = \frac {\alpha} {\beta} \Beta(\alpha, \beta + 1)\)。
收敛性容易讨论，性质用分部积分分析。
\[\Beta(m + 1, n + 1) = \frac {m!n!} {(m + n + 1)!} \]
形式很像组合数的倒数。
121 广义积分（3）
内容：
- 广义积分的条件收敛。
- Dirichlet-Abel 判别法。
- 广义积分的应用。
条件收敛
一个广义积分，如果它收敛但不绝对收敛，则称它是 条件收敛。
例 \(1\)
\(\int_0 ^ {+\infty} \frac {\sin x} {x ^ {\alpha}} \d x\)。
对 \(x\to 0 ^ +\) 和 \(x\to +\infty\) 的讨论可知当 \(\alpha \geq 2\) 时积分发散，当 \(1 < \alpha < 2\) 时积分绝对收敛。当 \(\alpha \leq 1\) 时 \(0\) 不是瑕点。
当 \(\alpha \leq 0\) 时
\[\int_{2k\pi + \frac \pi 6} ^ {2k\pi + \frac {5\pi} 6} \frac {\sin x} {x ^ {\alpha}} \geq \int_{2k\pi + \frac \pi 6} ^ {2k\pi + \frac {5\pi} 6} \frac 1 2 \geq \frac \pi 3 \]积分发散。
当 \(0 < \alpha \leq 1\) 时
\[\int_{2k\pi + \frac \pi 6} ^ {2k\pi + \frac {5\pi} 6} \frac {\sin x} {x ^ {\alpha}} \geq \frac 1 2 \ln(1 + \frac {\frac {2\pi} 3}{2k\pi + \frac \pi 6}) > \frac {1} {100k\pi} \]于是
\[\int_{2k\pi} ^ {4k\pi + \pi} \abs {\frac {\sin x} {x ^ {\alpha}}} \geq \frac 1 {200\pi} \]由 Cauchy 准则知积分不是绝对收敛。
\[\abs {\int_A ^ B \frac {\sin x} x \d x} = \abs {-\left.\frac {\cos x} {x ^ {\alpha}}\right|_A ^ B + \int_A ^ B \cos x \d \frac {1} {x ^ \alpha}} \leq \frac 3 {A ^ {\alpha}} \]
- 思路：让 \(\alpha\) 加 \(1\) 使得积分绝对收敛，需要对 \(\frac {1} {x ^ {\alpha}}\) 求导，从而想到分部积分。
由 Cauchy 准则知积分收敛。于是积分条件收敛。
- 收敛当且仅当 \(0 < \alpha < 2\)。
- 绝对收敛当且仅当 \(1 < \alpha < 2\)。
- 条件收敛当且仅当 \(0 < \alpha \leq 1\)。
分部积分是关键技术。
记
则
若 \(F\) 在无穷远处有界，\(g\) 单调减且 \(\lim_{x\to +\infty} g(x) = 0\)，则
于是
定理（Dirichlet）
设 \(f\) 在任何有界闭区间 \([a, A]\) 上 Riemann 可积，\(g\) 单调，若
- \(\int_a ^ A f(x) \d x\) 对一切 \(A > a\) 有界；
- \(\lim_{x\to +\infty} g(x) = 0\)，
则 \(\int_a ^ {+\infty} f(x) g(x) \d x\) 收敛。
证明要用到第二积分中值定理。条件更强就用分部积分。
定理（Abel）
设 \(f\) 在任何有界闭区间 \([a, A]\) 上 Riemann 可积，\(g\) 单调，若
- \(\int_a ^ {+\infty} f(x) \d x\) 收敛；
- \(g\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界，
则 \(\int_a ^ {+\infty} f(x) g(x) \d x\) 收敛。
条件收敛意味着函数需要不断改变正负号，否则在足够远之后函数不变号，收敛等价于绝对收敛。
例 \(2\)
分析 \(\int_1 ^ {+\infty} \frac {\abs {\sin x}} {x ^ \alpha}\) 的收敛性。
解：由于 \(\int_0 ^ {2\pi} \abs {\sin x} = 4\)，所以
\[\abs {\int_0 ^ A \left(\abs {\sin x} - \frac {2} {\pi} \right) \d x} \leq 2\pi \cdot 2 \leq 4\pi \]由 Dirichlet 定理知对 \(\alpha > 0\)，\(\int_1 ^ {+\infty} \frac {\abs {\sin x} - \frac 2 \pi} {x ^ \alpha} \d x\) 收敛。
又因为 \(\int_1 ^ {+\infty} \frac {\frac 2 \pi} {x ^ \alpha}\d x\) 收敛当且仅当 \(\alpha > 1\)，所以积分收敛当且仅当 \(\alpha > 1\)。
例 \(3\)
平面曲线 \(y = \frac 1 x\)（\(x > 1\)）绕 \(x\) 轴旋转一周得到的旋转面，求它的表面积和所围区域的体积。
解：
\[V = \int_1 ^ {+\infty} \pi \frac 1 {x ^ 2} \d x = \pi \\ A = \int_1 ^ {+\infty} 2\pi y \sqrt {1 + y' ^ 2} \d x > 2\pi \int_1 ^ {+\infty} y\ \d x = +\infty \]
例 \(4\)（正态分布的矩）
标准正态分布有概率密度
\[\varphi(x) = \frac {1} {\sqrt {2\pi}} \e ^ {-\frac {x ^ 2} 2} \]求它的 \(n\) 阶矩：\(I_n = \int_{-\infty} ^ {+\infty} x ^ n\varphi(x) \d x\)。
解：显然积分绝对收敛。
当 \(n\) 是奇数时，被积函数是奇函数且积分收敛，所以 \(I_n = 0\)。
当 \(n\) 是偶数时
\[I_{2n} = -\int_{-\infty} ^ {+\infty} x ^ {2n - 1} \d \frac {\e ^ {-\frac {x ^ 2} 2}} {\sqrt {2\pi}} = (2n - 1)I_{2n - 2} = (2n - 1)!! \]证明 \(I_0 = 1\)：即证
\[\int_0 ^ {+\infty} \e ^ {-x ^ 2} \d x = \frac {\sqrt \pi} 2 \]考虑
\[\int_0 ^ {\sqrt n} \left(1 - \frac {x ^ 2} n\right) ^ n\d x = \int_0 ^ {\frac \pi 2} \cos ^ {2n} t\d \sqrt n\sin t = \sqrt n\int_0 ^ {\frac \pi 2} \cos ^ {2n + 1} t \d t \]后面有点难，不写了……（WXF：不需要掌握，学重积分时会有更好的工具）之前在 3b1b 看过类似的东西。