掌握闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理的内容及证明。会运用这些定理证明相关题目，如 例1、例2。注意定理成立的条件。
重点习题：第1、3、5、7。
博雷尔（Borel）（1871年1月7日 -1956年2月3日），是法国数学家。他的一生成就甚丰，对数学分析、函数论、数论、代数、几何、数学物理、概率论等诸多分支都有杰出的贡献。此外，他是一位多产的数学家，在他不下300种作品中，有30余本著作多次再版，不少译成外文，他还多次获法国科学院奖，是20世纪第一流的数学家。卒于巴黎。
博雷尔1893年毕业于巴黎高等师范学校，1894年获博士学位. 自1893年毕业后，先后在大学（里尔大学、巴黎高等师范学校、巴黎大学理学院等）任教近50年之久. 他除任教外，还担任过巴黎高等师范学校和安利普安卡尔大学的校长. 1921年被选为法国科学院院士. 1928年组建庞加莱研究所，并任所长直至去世. 他还是前苏联科学院和其它科学院的外籍院士.
博雷尔发展了线代数学分析的不同方向. 1895年以来他深入地研究了发散级数，可和性级数理论的系统发展就是由他开始的. 他引进了绝对可和性的概念，并证明了绝对可和的发散级数可以完全像收敛级数那样进行运算. 换句话说，这种级数代表一个函数，并且可以像函数一样进行运算. 例如，两个绝对可和级数的和、差、积仍是绝对可和的，并且分别是每个级数所代表的函数的和、差、积，类似地对绝对可和级数的微商也成立. 他曾借助于级数来研究任意函数. 他写的《发散级数论》（1899）年获得法国科学院大奖. 博雷尔清楚地认识到从一个区间的所有开覆盖中能够选出有限个覆盖的重要性. 他完善了海涅（Heine）提出的覆盖定理，即现在的所谓“海涅-博雷尔定理”或“有限覆盖定理”，此定理和戴德金的“分割”法则、区间套定理、波尔察诺-魏尔斯特拉斯聚点存在定理是等价的.
博雷尔1898年改进了容度的概念，提出了测度的概念，从而发展了测度理论. 博雷尔还是最先注意到康托尔思想重要性的一位数学家，并首先把康托尔的思想用于函数论. 他的主要著作发表在《函数论专集》中，这部专著对后来函数论的研究产生过重要的影响.
博雷尔发展了解析函数. 例如，他引进了单演函数，这种函数是复平面的一般点集上的可微函数.
博雷尔对概率论也有深入的研究，他把概率论同测度论相结合，引进了可数事件集的概率，填补了古典有限概率和几何概率之间的空白. 他对对策论也极有建树：他首次定义了策略的应对，考虑了最优策略、混合策略、均衡策略和无限策略，并应用于战争及经济建设.
博雷尔不仅是一位杰出的数学家，而且还是一位著名的社会活动家. 他曾任法国国民议会议员（1924—1936年）、海军部长（1925—1940年）. 还当过市长. 第二次世界大战期间参加抵抗运动，并荣获抵抗运动奖章（1954年）. 他曾被授予大十字军功章（1950年）和国家科学研究中心颁发的第一枚金质奖章. 法国数学家蒙泰尔（Montel）曾说：“博雷尔的思想将会长久地继续在研究中发挥影响，就像远处的星光散布到广阔的空间. ”
博雷尔1920年曾到中国进行过学术访问，并逗留了五个月.
在数学中以他的姓氏命名的有：博雷尔函数、博雷尔测度、博雷尔变模、博雷尔集、博雷尔强大数律、博雷尔同构、博雷尔定理等等.都是大家学习的榜样。