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圆锥曲线

发布时间 2023-12-09 11:10:37作者: tsqtsqtsq

圆锥曲线

椭圆

椭圆及其标准方程

把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。

我们把平面内与两个定点 \(F_1\)，\(F_2\) 的距离的和等于常数的（大于 \(|F_1F_2|\)）点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。

我们以经过椭圆两焦点的直线为 \(x\) 轴，线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系\(Oxy\)。

设 \(M(x,y)\) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 \(2c(c>0)\) 那么焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的坐标分别为 \((-c,0)\)，\((c,0)\)。根据椭圆的定义，设 \(M\) 与焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的距离的和等于 \(2a\)。由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集：

\[P=\left\{M||MF_1|+|MF_2|=2a\right\} \]

因为

\[|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\ |MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]

所以

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a \\ \]

整理得

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]

两边平方得

\[(x+c)^2+y^2=4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-(x-c)^2+y^2 \\ \]

整理得

\[a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]

两边平方得

\[a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2=2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 \\ \]

整理得

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \\ \]

两边同时除以 \(a^2(a^2-c^2)\) 得

\[\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \\ \]

由椭圆定义易知 \(2a>2c>0\)，即 \(a>c>0\)，所以 \(a^2-c^2>0\)。

令 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)，则

\[\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) \\ \]

这就是椭圆的标准方程，他表示焦点在 \(x\) 轴上且两个焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的椭圆。在这里 \(c^2=a^2-b^2\)。

椭圆的简单几何性质

范围

显然由 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 可知

\[\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\ge0 \]

显然

\[\frac{x^2}{a^2}\le1 \]

即

\[-a\le x\le a \]

同理有

\[-b\le x\le b \]

这说明椭圆位于直线 \(x=\pm a\) 和 \(y=\pm b\) 围成的矩形框里。

对称性

在 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中

  1. 以 \(-y\) 代 \(y\) 时方程不变，说明椭圆关于 \(x\) 轴对称。

  2. 以 \(-x\) 代 \(x\) 时方程不变，说明椭圆关于 \(y\) 轴对称。

  3. 同理以 \(-x\) 代 \(x\)，\(-y\) 代 \(y\) 时方程不变，说明椭圆关于原点对称。

综上所述，椭圆关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴，对称中心为原点。

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

顶点

在 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中

  1. 令 \(x=0\)，得 \(y=\pm b\)，因此 \(B_1(0,-b)\)，\(B_2(0,b)\) 是椭圆与 \(y\) 轴的两个交点。
  2. 令 \(y=0\)，得 \(x=\pm a\)，因此 \(A_1(0,-a)\)，\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。

这四个交点叫做椭圆的顶点。

\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\)，\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

离心率

椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的长半轴长为 \(a\)，半焦距为 \(c\)。利用信息技术，保持长半轴长 \(a\) 不变，改变椭圆的半焦距\(c\)，可以发现，\(c\) 越接近 \(a\)，椭圆越扁平。类似地，保持 \(c\) 不变，改变 \(a\) 的大小，则 \(a\) 越接近 \(c\) ，椭圆越扁平；而当 \(a\)，\(c\) 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变。这样，利用 \(c\) 和 \(a\) 这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。

我们把椭圆的焦距与长轴长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为椭圆的离心率，用 \(e\) 表示，即 \(e=\frac{c}{a}\)。

因为 \(a>c>0\)，所以 \(0<e<1\)。\(e\) 越接近\(1\)，\(c\) 越接近 \(a\)，\(b=\sqrt{a^2-c^2}\) 就越小，因此椭圆越扁平；反之，\(e\) 越接近 \(0\),

\(c\) 越接近 \(0\)，\(b\) 越接近 \(a\)，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当 \(a=b\) 时，\(c=0\)，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为

\[x^2+y^2=a^2 \]

双曲线

双曲线及其标准方程

一般地，我们把平面内与两个定点\(F_1\)，\(F_2\) 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

观察双曲线，发现它也具有对称性。而且直线 \(F_1F_2\) 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的直线 \(x\) 轴，线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系 \(Oxy\)。设 \(M(x,y)\) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 \(2c(c>0)\)，那么焦点 \(F_1\)，\(F_2\) 的坐标分别是 \((-c,0)\)，\((c,0)\)，又设 \(||MF_1|-|MF_2||=2a\)(\(a\) 为大于 \(0\) 的常数，\(a<c\))。由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

\[P=\left\{M||MF_1|-|MF_2|=2a,0<2a<|F_1F_2|\right\} \]

因为

\[|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\ |MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]

所以

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a \\ \]

类比椭圆标准方程推导过程化简得

\[(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2) \]

两边同时除以 \(a^2(c^2-a^2)\) 得

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1 \]

由双曲线定义易知 \(2a<2c\)，即 \(a<c\)，所以 \(c^2-a^2>0\)。

类比椭圆标准方程建立过程，令 \(b^2=c^2-a^2(b>0)\)，则

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) \\ \]

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 \((x,y)\) 都是方程的解；以方程的解为坐标的点 \((x,y)\) 与双曲线的两个焦点\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的距离之差的绝对值都为$ 2a$，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程是双曲线的标准方程，它表示焦点在 \(x\) 轴上，焦点分别是 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\) 的双曲线，这里 \(c^2=a^2+b^2\)。

双曲线的简单几何性质

范围

类比研究椭圆范围方法，观察双曲线。

显然双曲线上点的横坐标范围 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\)。

由双曲线标准方程可得

\[\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge1 \]

显然双曲线上点的坐标 \((x,y)\) 都适用于不等式 \(\frac{x^2}{a^2}\ge1,t\in\R\)，即：

\[x^2\ge a^2,y\in\R \]

所以 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\)，\(y\in\R\)。

这说明双曲线位于直线 \(x=-a\) 及其左侧和直线 \(x=a\) 及其右侧的区域。

对称性

类比研究椭圆对称性的方法，容易得到双曲线关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴，对称中心为原点。

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

顶点

在双曲线标准方程中

  1. 令 \(x=0\)，得 \(y=-b^2\)，无解，说明双曲线和 \(y\) 轴无公共点。
  2. 令 \(y=0\)，得 \(x=\pm a\)，因此 \(A_1(0,-a)\)，\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。

这两个交点叫做双曲线的顶点。

\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为双曲线的实轴和虚轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\)，\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.

渐近线

经过两点 \(A_1\)，\(A_2\) 作 \(y\) 轴的平行线 \(x=\pm 3\)，经过两点 \(A_1\)，\(B_2\) 作 \(x\) 轴的平行线 \(y=\pm 2\)，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\)。可以发现，双曲线 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) 的两支向外延伸时，与两条直线 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近，但永远不相交.

一般地，双曲线 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 的两支向外延伸时，与两条直线 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。

在双曲线方程 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 中，如果 \(a=b\)，那么方程变为 \(x^2-y^2=a^2\)，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 \(2a\)。这时，四条直线 \(x=\pm a\)，\(y=\pm a\) 围成正方形，渐近线方程为 \(y=\pm x\)，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

离心率

与椭圆类似，我们把双曲线的焦距与实轴长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为双曲线的离心率，用 \(e\) 表示，即 \(e=\frac{c}{a}\)。因为 \(c>a>0\)，所以双曲线的离心率 \(e=\frac{c}{a}>1\)。

抛物线

抛物线及其标准方程

首先浅浅作个图。

\(F\) 是定点，\(l\) 是不经过点 \(F\) 的定直线，\(H\) 是直线 \(l\) 上任意一点，过点 \(H\) 作 \(MH\perp l\)，线段 \(FH\) 的垂直平分线 \(m\) 交 \(MH\) 于点 \(M\)。拖动点\(H\)，点 \(M\)​ 随之运动。可以发现，在点 \(M\) 随着点 \(H\) 运动的过程中，始终有 \(|MF|=|MH|\)，即点 \(M\) 与定点 \(F\) 的距离等于它到定直线 \(l\) 的距离，点 \(M\) 的轨迹形状与二次函数的图象相似。

我们把平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\)(\(l\) 不经过点 \(F\))的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 \(F\) 叫做抛物线的焦点，直线 \(l\) 叫做抛物线的准线。

根据抛物线的几何特征，我们取经过点 \(F\) 且垂直于直线 \(l\) 的直线为 \(x\) 轴，垂足为 \(K\)，并使原点与线段 \(KF\)的中点重合，建立平面直角坐标系\(Oxy\)。设\(|KF|=p(p>0)\)，那么焦点 \(F\) 的坐标为 \((\frac{p}{2},0)\)，准线 \(l\) 的方程为 \(x=-\frac{p}{2}\)。设 \(M(x,y)\) 是抛物线上任意一点，点 \(M\) 到准线 \(l\) 的距离为 \(d\)。由抛物线的定义，抛物线是点集

\[P=\left\{M||MF|=d\right\} \]

因为

\[|MF|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2} \\ d=|x+\frac{p}{2}| \\ \]

所以

\[\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=|x+\frac{p}{2}| \\ \]

两边平方并化简得

\[y^2=2px(p>0) \]

这是抛物线的标准方程，他表示焦点在 \(x\) 轴正半轴上，焦点是 \((\frac{p}{2},0)\)，准线是 \(x=-\frac{p}{2}\) 的抛物线。

标准方程 焦点坐标 准线方程
\(y^2=2px(p>0)\) \((\frac{p}{2},0)\) \(x=-\frac{p}{2}\)
\(y^2=-2px(p>0)\) \((-\frac{p}{2},0)\) \(x=\frac{p}{2}\)
\(x^2=2py(p>0)\) \((0,\frac{p}{2})\) \(y=-\frac{p}{2}\)
\(x^2=-2py(p>0)\) \((0,-\frac{p}{2})\) \(y=\frac{p}{2}\)

抛物线的简单几何性质

范围

因为 \(p>0\)，显然对于抛物线上的点 \(M(x,y)\)，\(x\ge0\)，\(y\in\R\)，当 \(x>0\) 时，抛物线在 \(y\) 轴右侧，开口方向与 \(x\) 轴正方向相同。当 \(x\) 的值增大时，\(|y|\) 的值增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

对称性

以 \(-y\) 代 \(y\)，方程不变，则抛物线关于 \(x\) 轴对称。我们称之为抛物线的轴。

顶点

抛物线及其轴交代为抛物线的顶点，因为 \(x=0\) 时 \(y=0\)，所以抛物线的顶点就是原点。

离心率

抛物线上的点 \(M\) 与焦点 \(F\) 的距离和点 \(M\) 到准线的距离 \(d\) 的比 \(\frac{|MF|}{d}\) 叫做抛物线的离心率，用 \(e\) 表示。由抛物线的定义可知，\(e=1\)。

总结

没有总结，开摆。

再次深深感到自己的弱小。