圆锥曲线和直线-526互联

高中选择性必修一内容

省流：独立发现妙妙结论

$\Delta = A^2a^2+B^2b^2-C^2$

引子

我是一个热爱过程的人，但是很明显我不爱计算

所以我有言曰：

遇到一个很通用的题目，我们要先苦后甜，先把字面的数字用字母换了，再代入计算。

然后我们把目光放到高中选择性必修一第114页（臭）的一道例题：

求直线 $4x-5y+m=0$ 和椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的交点情况（个数）

我寻思着反正要求一些离谱交点，我开始贯彻我的言论，我开始算：

求直线 $l:Ax+By+C=0$ 和椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的交点情况

解&分析：

我们就按照书上的内容来：

可知交点坐标满足：$\begin{cases}Ax+By+C&=0\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\end{cases}$

我们学习书本借助直线 $l$ 的方程拿 $x$ 表示 $y$

很明显过程要严谨，所以对于 $B$：

情况 $1$，$B=0$

由直线 $l$ 方程我们有 $Ax+C=0$，

如果 $A$ 也是 $0$ 那它就不是一个直线的方程了，所以必然有 $x=-\dfrac{C}{A}$

由椭圆的横坐标范围是 $\left[-a,a\right]$，那么我们讨论 $-\dfrac{C}{A} $ 和 $ \left(-a,a\right)$ 的关系即可

简单讨论可知 $l$ 和 $C$ 关系为$\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \in \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \notin \left[-a,a\right] \end{cases}$

化简条件后：

\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&C^2 < A^2 a^2\\ \text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{相离}&C^2 > A^2 a^2 \end{cases}\]

情况 $2$，$B\not=0$

由直线 $l$ 方程有：$y=-\dfrac{Ax+C}{B}$

直接代入椭圆方程可得：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1$

写好看点得到：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1$

小阶段发挥人类吃苦耐劳精神：

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}+\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2+\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

我们成功得到了一个一元二次方程，$l$ 和 $C$ 的交点个数很明显就是这个方程根的个数。

哦对对对，我们没有证明这是一个一元二次方程：因为还需说明 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq 0$

额 $\dfrac{1}{a^2}>0$ 和 $\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\ge 0$ 解决

所以我们随心所欲套入一元二次方程的根的判别式：

$\Delta = \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\times\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\times\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)$

接下来开始全面发挥人类吃苦耐劳精神（我尽量不跳步骤）：

$\begin{aligned} \Delta &= \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 b^2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)+4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}-\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}\\ \end{aligned}$

好好好到了这一步已经十分公整了

我们知道有：

\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&\Delta > 0\\ \text{相切}&\Delta = 0\\ \text{相离}&\Delta < 0 \end{cases}\]

很明显我们只要能够得到 $\Delta$ 与 $0$ 的大小关系的等价命题也可以

所以我们可以进一步把这个 $\Delta$ 弄成更加简单的形式，例如乘或除一个正数

所以给 $\Delta$ 乘上它的分母 $B^2 a^2 b^2$ 再除去 $4$ 后：

\[\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2 \]

写成 $\Delta'$ 以便区分

可以发现有一种怎么说……很对称的美（确信）

并且如果代入 $B=0$ 并和前文比较过后，会发现这一结论其实也符合 $B=0$ 的情况。

综上，我们得到以下结论：

对于任意直线 $l:Ax+By+C=0$ 和椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，都有：

\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&\Delta' > 0\\ \text{相切}&\Delta' = 0\\ \text{相离}&\Delta' < 0 \end{cases}\]

其中 $\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2$

深入

接着由于提前颓废数学不会很多圆锥曲线的二级结论

然后我就寻思不会了呀，然后闲来无事

所以我尝试康康对于双曲线是怎么样的

简单而言就是：

求直线 $l:Ax+By+C=0$ 和双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的交点情况

很明显这个只是双曲线的一种情况（交点在 $x$ 轴上），但是我们事后可以利用一些变换

十分明显对于 $B=0$ 的情况还是和前文一样，只不过要变成：

$l$ 和 $C$ 关系为$\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \notin \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \in \left[-a,a\right] \end{cases}$

化简条件后：

\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&C^2 > A^2 a^2\\ \text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{相离}&C^2 < A^2 a^2 \end{cases}\]

正题情况 $2$，$B\neq0$

还是由直线 $l$ 方程有：$y=-\dfrac{Ax+C}{B}$

还是生硬代入得到：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1$

写好看点得到：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1$

照旧化简：

\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}-\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

\[\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

我们成功得到了一个一元二次方程

哦不对不对，这个不一定是一个一元二次方程

情况 $2.1$，$\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=\dfrac{2AC}{B^2 b^2}=0$

很简单啊，条件转化为：$\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ AC=0\\ \end{cases}$

结果等式变为：$\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=0$

也就是：$C^2 + B^2 b^2 = 0$

如果方程成立

则有 $C=Bb=Aa=0$

显然在双曲线方程里看出：$a,b\neq0$

所以有 $A=B=C=0$

这还是个der的直线方程啊，直接舍去

所以这个东西一定不成立，此时无解

情况 $2.2$，$\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=0 \bigwedge \dfrac{2AC}{B^2 b^2}\neq0$

很简单啊，条件转化为：$\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ A,C\neq0\\ \end{cases}$

结果等式变为：$-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x=\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=\dfrac{C^2+B^2 b^2}{B^2 b^2}$

有 $x=-\dfrac{C^2+B^2b^2}{2AC}=-\dfrac{C^2+A^2a^2}{2AC}=-\dfrac{C}{2A}-\dfrac{A}{2C}a^2$

就这一个解

情况 $2.3$,$\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq0$

所以有 $A^2a^2\neq B^2b^2$

自信写出 $\Delta$：

\[\Delta=\left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right) \]

自信化简：

$\begin{aligned} \Delta &=\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right)\\ &=\dfrac{4C^2}{a^2B^2b^2}+\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4A^2}{B^2b^2} \end{aligned}$

同样自信乘上正数简化

\[\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2 \]

~~总结以后再写~~