数列的极限 数列 数学

# [P1438 无聊的数列](https://www.luogu.com.cn/problem/P1438) 我们考虑原数列 $a$ 的差分序列 $b$。 1. $b_l\leftarrow b_l+k,b_{r+1}\leftarrow b_{r+1}-k$，将区间 $[l,r]$ 内的数增加 ......

如何优雅地编写带数学公式的文章？(markdown+latex) 一千个读者眼里有一千个哈姆雷特，我见过用 word编辑公式的同学，也有人用奇怪的符号组合来表示公式，当然最多的还是用 latex编写这一类文章，但是就便利和美观的折中选择来说，本人认为用 markdown+latex肯定是最好的选择， ......

组合数学与计数复习 前言： 自从发现，每次打 codeforces 或者模拟赛，看到“方案数mod 998244353”就直接跳过了， 这一次为了突破此类题，所以专门对其进行复习。 题单：（洛谷） 链接 硬核知识： 加法原理和乘法原理 感觉就是同类的是加和，互不影响的是乘法。 这个东西常常应用在dp ......

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排列组合 OI-wiki Link 排列组合是组合数学的基础，排列就是取出部分数字进行排序，组合就是不考虑顺序。 排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 加法、乘法原理 加法原理：一个东西有 \(n\) 类办法，第 \(i\) 类办法分 \(a_i\) 种，总共就有 \(\ ......

原题 可能更好的阅读体验 区间操作的维护看起来很麻烦，考虑转为点操作的维护。题目中的 \(\sum_{i=l}^r a_i\) 启发我们用前缀和。那么我们考虑每次操作会对前缀和数组 \(s\) 造成怎样的变化。设操作区间为 \([l,r]\)，按照题意，会把 \(a_{l-1}\) 和 \(a_{r ......

马尔可夫链 定义 马儿可夫过程：给定随机过程X(t), 如果对于任意个n个时刻\(t_{1}<t_2<...<t_n\), 有\(P\left\{X(t_n)<x| X(t_1),X(t_2),...,X(t_{n-1})\right\}= P\left\{X(t_n)| X(t_{n-1}) \r ......

1.质数和约数 质数： 若一个正整数无法被除了 \(1\) 和它本身之外的任何自然数整除，则称该数为质数。 质数的判定： 试除法 Miller-Robbin Eratosthenes筛法 每个合数 \(a\) 一定可以写成 \(p\times x\) 的形式，其中 \(p\) 是素数，\(x\) 是 ......

python案例 def f1(n): if n<=2: return 1; else: return f1(n-1)+f1(n-2) # print(f1(3)) """ 示例1 解释一下他是如何等8的，递归不是直接返回值再去传递给自身函数，比如n=4的时候，那么f1(4-1)+f1(4-2) = ......

海涅定理描述的是函数极限与数列极限之间的关系。它的描述如下： 可以简单地理解为这样的式子： 数列的逼近与函数的逼近不同：函数可以连续地逼近一个点的两侧，而数列只能离散地逼近。 使用海涅定理求数列极限的例题： 先根据数列的样式改写出函数，再求函数的极限，函数极限得到后，根据海涅定理得到数列的极限（一般 ......

🚝目录极限"什么情况下求极限可以直接带入""关于等价无穷小使用条件问题""如何解释洛必达法则(一阶泰勒展开)"有关泰勒展开导数与微分※导数极限定理、分段点求导能不能用公式？导数和导数的极限？"二阶导数的记号为何如此怪异"积分含三角函数的积分的一些常用结论积不出来的(原函数不初等)变限积分微分方程线 ......

四元数定义 四元数（quaternion）是一个复数，带1个实部+3个虚部： \[\tag{1} q=s+ia+jb+kc \]其中，虚数项系数a、b、c为实数；参数s也是实数，称为标量部分（scalar part）。参数i、j、k为虚数单位，有如下特性： \[\tag{2} \begin{alig ......

打印斐波那契数列的前30项 提示：斐波那契数列的前两项是1，其他项是之前两项之和 1 function fibonacciIterative(n) { 2 if (n <= 0) { // 如果输入的n小于等于0，表示输入错误，返回错误提示 3 return "输入错误，请输入正整数"; 4 } 5 ......

数学基础: 抽象代数: 一个算符的代数结构: 幺半群: 数的集合和一个算符构成的代数结构$(G,+)$,且满足 封闭性 结合律 存在恒等元(在群中我习惯这么叫,避免混淆) 群: 满足如下条件的代数结构$(G,+)$: 封闭性 结合律 存在恒等元 对于每个元素均存在逆元 交换群/阿贝尔群: 满足如下条 ......

模板 （前置芝士） P1226 【模板】快速幂 | 取余运算 目的： 顾名思义，快速求解乘方。 实现： 挺好写的。 题目传送门 代码 P3811 【模板】乘法逆元 开long long!! 定义： 若 \(a * x\equiv1\pmod b\) ，且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么就能定 ......

前言 以前在高三教学中曾经梳理积累过常用也常见的数学常识，现在教授新教材，依托人教版新教材再次梳理和积累。必修系列 + 选择性必修系列； 必修系列1 \(\S 1.\)集合与常用逻辑用语 ① 自创概念：为便于教学，引入以下自创数学概念： ✍️ 形如 \(\{x\mid 2\leqslant x\le ......

P3901 数列找不同 莫队：一种离线处理的优化暴力解法，时间复杂度在n * n^(1/2)，会被卡常数，但是极为简单 推荐视频：莫队算法 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int ......

令斐波那契数列第 \(i\) 个为 \(F_i\) \(F_0 = 0, F_1 = 1, F_2 = 1 \ …\ …\) 结论：\(F_n^2 = F_{n - 1} F_{n+1} - (-1)^n\) 不难发现，这一结论对于 \(n = 1\) 显然是成立的 接下来，运用数学归纳法 若该结论 ......

令斐波那契数列的第 \(i\) 项定义为 \(b_i\) 。 再令 \(f_n = \underset{i = 1}{\overset{n}{\sum}} b ^ 2 _ i\) 结论：\(f_n = b_n \times b_{n + 1}\) 首先，不难发现，该结论对于 \(n = 1\) 和 ......

数列极限的定义 数列概念: 如果按照某一法则, 对每个 \(n \in \mathbf{N_{+}}\), 对应着一个确定的实数 \(x_n\), 这些实数按照下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列 \[x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \]就叫做数列，简记为数 ......

扩展欧几里得 1.扩展欧几里得 用于求解\(ax + by = gcd(a,b)\)的解，利用辗转相除法构造出x，y的通解 当\(b = 0\)时，\(ax + by = a\)，可令\(x = 1，y = 0\) 当\(b \neq 0\)时，因 $gcd(a, b)$ $=$ gcd(b,a % ......

起因 坐车两小时准备来道简单的数列题，然后发现不会做（） 时隔两个月再回来看看（（ 然后和数列求导放缩的一起写了 待我写完政治（虚弱 题目 设数列｛\(a_n\)｝的前n项和\(S_n=pn^2+qn\).若\(a_1^2\)+\(a_3^2\)\(\leq\) 10,求\(a_3\)+\(a_4\ ......

数理逻辑分为命题逻辑和谓词逻辑两部分 ## 命题逻辑 命题的真值只有两个：“真”或者“假” 命题的表示：用大写字母表示 ## 逻辑连接词 复合命题由若干个连结词、标点符号及原子命题复合构成的命题 ### 非 $\neg$ ![image.png](https://pic-1317293214.cos ......

Preface 分块可以 \(O(n\sqrt{n})\) 解决不能用线段树解决的问题，即不能快速合并区间信息的问题，是很多高级算法与数据结构的基础。 本篇只是作者基础入门的一些感受，例题为 \(\text{LOJ} [6277,6285]\)，下一步计划学习莫队算法，这里有学习总结。 Conten ......

一、项目管理 立项管理一盈亏平衡管理 销售额 = 固定成本 + 可变成本 + 税费 + 利润 【正常情况下】 销售额 = 固定成本 + 可变成本 + 税费 【盈亏平衡时】 进度管理【重点！！！！！】 定义：为了确保项目按期完成所需要的管理过程。 过程 工作分解结构【WBS】 WBS分解的基本要求： ......

一般的差分用于对一段区间进行加减，但如果在该区间内加减的是一段等差数列呢？ 对于一段区间 [l,r], 加一段首项为 s, 末项为 e 的等差数列。其公差 d=(s-e)/(r-l+1) 为简化问题讨论，先假设这段区间都为 0。 原数组：0 0 0 0 0 0 0 添加后的数组：0 0 4 6 8 ......

Problem 考察知识点：二分、贪心。 题目描述 对于给定的一个数组，现要将其分成 \(M\) 段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。 思路 二分答案出每段和最大值的最小值，然后贪心检验是否满足。 难点在 \(check\) 上。 策略：每次开始循环，如果没有超范围，就一直选，知道选满为止，求 ......

R实数集合最重要的基本性质: 连续性(完备性: Q有理数+IR.无理数即无限不循环小数) 数系的扩充历史 自然数集合N: 关于 +加法 与 *乘法 运算是封闭的，但是 N 关于 -减法 运算并不封闭。 整数集合Z: 关于 +加法、-减法 和 *乘法 都封闭了，但是 Z 关于 /除法 运算不封闭的。 ......

一个mxn矩阵是一个m行n列的矩形数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)，行数和列数指定了矩阵的维数。下面是一个2×3矩阵的例子： $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ 矩阵可以通过(i, j)进行索引，i是行，j是 ......

问题描述 三名商人各带–个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行.随从们密约,在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,商人们怎样才能安全渡河呢？ 问题建模 考虑用深度优先搜索解决此问题，提前记录在船承载量为2时候，所有可行的移动状态，以及所有安全的商人和随从的数量情况，用变量同 ......