斜率dp

最长公共子序列 [toc] ## 问题描述 最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。一个数列 ，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则称为已知序列的最长公共子序列。 最长公共子序列问题是一个经典的计算机科学 ......

最优二叉搜索树 [toc] ## 问题描述 最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree，Optimal BST）问题，形式化定义：给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=（k1 和 ，分别为左右子树。 所以问题转化为了递归地求解连续节点的根节点问题，假设函数f为期望代价： ......

钢条切割 [toc] ## 问题描述 Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。假设切割工序没有成本，不同长度的钢条的售价如下： | length | 1 | 2 | 3 | 4| 5|6|7|8|9|10| | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - ......

### [TJOI2018] 游园会 [luogu link](https://www.luogu.com.cn/problem/P4590 "luogu link") 首先很容易想到 $f_{i, 0/1/2}$ 表示考虑兑奖串的前 $i$ 位 $\texttt{NOI}$的出现情况为 $0/1/ ......

### 前置芝士 单调队列优化 DP ⌈ 写不动数据结构呜呜呜，先来补这个 ⌋ 对于一个 DP，我们想优化祂的 ⌈ 转移 ⌋ 有些题目的可选状态有以下特征 + 需要寻找最值 + 可选状态区间平移 + 存在可以永久去除的多余状态 感性的讲，可行性是一个滑动窗口，状态两两之间都可以 ⌈ 直接比较出优劣 ......

## 距离和 > ### 题解 >* 我们考虑先计算以$1$为根时$1$到其他所有点的距离和 ......

# DP1 ## P2523 [HAOI2011] Problem c 从后往前考虑，容易判掉无解。 启发我们计数也从后往前考虑，设 $f[i][j]$ 表示考虑到 $[i, n]$ 的位置，确定了 $j$ 个人的编号的方案数。 转移枚举之前确定了多少个人、在当前位置确定多少个人即可。 ## CF3 ......

#引入 概率 DP 用于解决概率问题与期望问题，建议先对概率和期望的内容有一定了解。一般情况下，解决概率问题需要顺序循环，而解决期望问题使用逆序循环，如果定义的状态转移方程存在后效性问题，还需要用到 高斯消元 来优化。概率 DP 也会结合其他知识进行考察，例如 状态压缩，树上进行DP转移等。 #求法 ......

无线取餐/排队呼叫器采用先进的DP4306无线通信芯片，该芯片是一款低功耗、高性能、独立运行的射频收发芯片，适用于各种230、 315、433、470、868、915MHz的无线应用。无线呼叫系统由主机、接收器和充电器组成，超大型场所也可选配外接大功率发射机。可应用于餐饮、休闲娱乐、商场、诊所、儿童 ......

## 1.定义与性质 区间类动态规划是线性动态规划的扩展，它在分阶段地划分问题时，与阶段中元素出现的顺序和由前一阶段的哪些元素合并而来有很大的关系。 令状态 $dp_{(i,j)}$ 表示将下标位置 $i$ 到 $j$ 的所有元素合并能获得的价值的最大值，那么 $dp_{(i,j)}=max\{dp ......

## [模板区间 dp](https://vjudge.net/problem/%E6%B4%9B%E8%B0%B7-P3146) - 一个长 $n(n \le 248)$ 的序列，选择数列中两个相邻且相等的元素，删去其中一个元素并使另一个元素的值 $+1$，求数次操作后数列中的最大值 - 将这看做 ......

在研究过 Nim 游戏及各种变种之后，Orez 又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的： 有 n 堆石子，将这 n 堆石子摆成一排。 游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。 Orez 问：对于 ......

# 动态规划的形式理论 动态规划是一类特殊的组合最优化问题的求解方式。 组合最优化问题是在给定有限集合的所有具某些特性的子集簇中，寻找使某种指标达到最优的子集的问题。也即，给定一个基础集合 $P$，在 $P$ 的所有子集（记作 $2^P$，由于可以决定每个元素选或不选）的某个子集 $S \subse ......

捷米JM-DPM-RTU网关在Profibus总线侧实现主站功能，在Modbus串口侧实现从站功能。可将ProfibusDP协议的设备（如：E+H流量计、倍福编码器等）接入到Modbus网络中；通过增加DP/PA耦合器，也可将Profibus PA从站接入Modbus网络。在Modbus串口侧提供R... ......

大家好，今天要给大家介绍一款捷米的神秘产品，它的名字叫JM-DPM-ECT，是一款兼具PROFIBUS-DP主站功能的通讯网关。想象一下，它既能和PROFIBUS总线打交道，又能与ETHERCAT网络愉快地交流，是不是感觉很神奇？ 别看这只是一台小小的网关，它的作用可是非常大的！它可以将各种PROF ......

P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) 作为刚做得两道题，均用的是dp，而且是四维； 题目都有 “一个图两 ......

## [P7154 [USACO20DEC] Sleeping Cows P](https://www.luogu.com.cn/problem/P7154) 按奶牛和牛棚的大小混合排序，由于匹配极大，故钦定奶牛或牛棚不被匹配 **状态设计：** $f[i][j][0/1]$ 表示考虑到第 $i$ ......

# [AT_ABC307_G-Approximate Equalization](https://atcoder.jp/contests/abc307/tasks/abc307_g "ABC307_G") [没想到还有Approximate Equalization II ！！：AT_ABC313_ ......

捷米JM-DPM-TCP网关。这款产品在Profibus总线侧实现了主站功能，在以太网侧实现了ModbusTcp服务器功能，为我们的工业自动化网络带来了全新的可能。 捷米JM-DPM-TCP网关是如何实现这些功能的呢？首先，让我们来看看它的Profibus总线侧的主站功能。通过高效的通信协议和稳定的... ......

捷米JM-DPM-TCP网关。在Profibus总线侧作为主站，在以太网侧作为ModbusTcp服务器功能， 下面是介绍捷米JM-DPM-TCP主站网关组态工具的配置方法 ......

Smiling & Weeping 你站在桥上看风景， 看风景的人在楼上看你。 明月装饰了你的窗子， 你装饰了别人的梦。 题目： 给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。 子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。 题目链接： ......

#### [P5975 [CEOI2009] photo](https://www.luogu.com.cn/problem/P5975) 很抽象的题 #### path 给定一个 $n\times m$ 的矩形，从左下角 $(n,1)$ 出发，可以向右转或向前走，障碍物和走过的格子不能走，求走到 ......

## [动态的状态压缩 dp](https://codeforces.com/gym/104432/problem/D) - $dp_{i, x}$ 表示 $a_{i-k+1} \cdots a_i$ 所表示的二进制数（`0` 为没有被选择，`1` 为已经被选择） - 这就会不断删除最后一个，不断加 ......

考虑给 $f(T)$ 赋予组合意义。一个直观的想法是，在每条边中间新建一个节点，然后每次选择一条边对应的点，然后把它删掉，递归剩余的两个部分，但是你会发现这样分母不对，应该是 $n$ 但在这个模型里只有 $n-1$。 考虑魔改这个模型。我们在每个边对应的点下面添加 $998244352$ 个点，你发 ......

## [P1273 有线电视网](https://www.luogu.com.cn/problem/P1273) 树上背包的变形 $$ f_{u, j + k} = \max_{v \in son(u)} f_{u, j} + f_{v, k} - w_{u,v} $$ 这里写成 $j + k$ 是 ......

## 放假 #### 题目大意 经过几个月辛勤的工作，$\mathrm{FJ}$ 决定让奶牛放假。 假期可以在 $1\dots n$ 天内任意选择一段（需要连续），每一天都有一个享受指数 $a$ 但是奶牛的要求非常苛刻，假期不能短于 $p$ 天，否则奶牛不能得到足够的休息； 假期也不能超过 $q$ ......

# Part 1：树形DP ## 选边 #### 题意 一棵树有 $n$ 个结点，$n-1$ 条边，第 $i$ 条边是：$u[i],v[i],w[i]$ 表示结点 $u[i]$ 与结点 $v[i]$ 有一条权值为 $w[i]$ 的无向边。 你需要从这 $n-1$ 条边当中选取若干条边（可以不选），使 ......

# Part 1：前置知识 1、状压 DP 2、基本的位运算操作 # Part 2：SOS DP (以下的内容大部分翻译至[CF上的原文](https://codeforces.com/blog/entry/45223) ） ## 1、例题引入 给定一个含 $2^N$ 个整数的集合 $A$，我们需要 ......

这是等了好久的笔记了。 斜率优化一直是我 OI 中的一个大坑，我刚接触它的时候是在 摆渡车 这题，看到斜率凸包啥的，那时候我才是六年级，十分的不理解，于是一直觉得它十分困难。 暑假终于迎来了转机，NLFS 讲 DP 优化那天顺便讲了下斜率优化，终于大悟，乃写此文章，供复习等用。 先来看一道题： 斜率 ......

[P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治](https://www.luogu.com.cn/problem/P4719) 带点权的树，每次修改一个点的权值，求树的最大权独立集。 $1\le n,m \le 10^5$，点权的绝对值 $\le 10^2$. 若不带修，先设 $f_{u,1/0 ......